Problema 3 del nivel B de la Fase Comarcal de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Alicia, el Conejo Blanco y el Sombrerero Loco disputan un juego con tres cartas.

Cada una de estas cartas lleva dibujado un número entero positivo distinto.

En cada partida, las tres cartas se reparten al azar y cada jugador se anota tantos puntos como indica la carta que le ha tocado.
Después de jugar al menos dos partidas, Alicia tiene 20 puntos, el Conejo Blanco 10 puntos y el Sombrerero Loco 9.

Además, sabemos que en la última partida, el Conejo Blanco ha obtenido la carta con mayor puntuación posible de las tres.

¿Qué jugador obtuvo la carta de valor intermedio en la primera partida?

Solución:

Puesto que juegan 3 rondas y en total reciben 20 + 10 + 9 = 39 puntos, las cartas suman 13 puntos en total.

Está claro que Alicia no recibe 3 veces la más valiosa, puesto que su total no es un múltiplo de 3.

Como máximo, la carta más valiosa debe tener un 9, pero en ese caso, una de las otras 2 debe ser un 2, para que Alicia tenga 20. Eso no es posible, porque habría 2 cartas iguales.

Si la carta más valiosa tiene un 8, las otras dos suman 5, podrían ser 4 y 1, para que Alicia sumara 20. y en ese caso, el Conejo Blanco podría sumar 10 con 8 + 1 + 1, y el resto se las apuntaría el Sombrero Loco.

Si la carta más valiosa es un 7, las otras dos sumarían 6, y en ese caso es inalcanzable el total de 20 puntos para Alicia.

Por lo tanto la única opción es que las cartas sean 8, 4 y 1.

Puesto que en la última partida el Conejo Blanco obtuvo un 8, Alicia debió de obtener en esa partida un 4, pues fue la única vez que no consiguió un 8, y por eso el resto de 4 (el valor intermedio) los obtuvo el Sombrero Loco.

Así que la respuesta correcta es el Sombrero Loco.