Problema 7 del concurso Marató de problemes 2025 Se dirige a una edad de: 14-15 años
En este problema, llamaremos números bicífridos a aquellos números naturales que tienen la propiedad de que en su expresión en base 10 aparecen dos cifras diferentes, y no más de dos cifras diferentes.
Por ejemplo, 47747, 221, o 56565556 son números bicífridos, respectivamente, de cinco, tres y ocho cifras, mientras que 666 y 45454456 no lo son.
a) Razona qué números bicífridos de cuatro cifras pueden ser múltiplos de 11, y haz el recuento de cuántos diferentes hay.
b) Razona qué número bicífridos de cinco cifras pueden ser múltiplos de 11, y haz el recuento de cuántos diferentes hay.
Solución:
Este problema combina combinatoria y teoría de números de una manera ingeniosa.
Empecemos por entender la posición en la que pueden estar las cifras repetidas, lo que llamaremos el tipo de números bicífridos.
En los de cuatro cifras, tenemos los de 3 cifras y 1 cifra
AAAB
AABA
ABAA
BAAA
Y los de 2 cifras y 2 cifras
AABB
ABBA
ABAB
Además, debemos considerar que la primera cifra no puede ser 0.
Si añadimos que queremos que sea múltiplo de 11, sabemos que las sumas de las cifras en posición par y en posición impar deben diferenciarse en un múltiplo de 11.
En los de tipo AAAB, la diferencia de las sumas es B – A (puede ser negativa, si A es mayor que B), que en ningún caso puede ser múltiplo de 11 pues no pueden ser iguales.
En los de tipo AABA, la diferencia también es A – B, y sucede de nuevo lo mismo.
En los de tipo ABAA y en los de tipo BAAA volvemos a la misma situación.
En los de tipo AABB, la diferencia siempre es 0, por lo que todos ellos son múltiplos de 11, y son un total de 81 (9 posibles posiciones para la cifra A y 9 para la B), aunque todos estarán contados 2 veces, salvo los que la cifra B sea 0, caso en el que no pueden intercambiar posiciones. En total hay 72/2 + 9 = 45 números diferentes de este tipo.
En los de tipo ABBA de nuevo pasa lo mismo, de forma que tenemos otros 45.
En los de tipo ABAB, la diferencia es 2B – 2A = 2(B – A). Si es múltiplo de 11, de nuevo lo es B – A, cosa que sabemos que no puede pasar.
Por tanto hay 90 números bicífridos de 4 cifras múltiplos de 11.
Pasemos a las 5 cifras.
AAAAB
AAABA
AABAA
ABAAA
BAAAA
AAABB
AABAB
AABBA
ABAAB
ABABA
ABBAA
BAAAB
BAABA
BABAA
BBAAA
Con lo que la casuística es mucho más compleja.
En los casos AAAAB y AABAA, la diferencia es B, cosa que sólo puede ocurrir cuando B vale 0, así que habrá 9 de estos números en cada tipo, 18 en total.
En el caso BAAAA la diferencia es también B, pero no puede valer 0, así que no aporta más.
En los casos ABAAA y el AAABA la diferencia es 2A – B. No puede alcanzar el valor -11, pero sí puede alcanzar el valor 0, cada vez que A sea la mitad de B (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8). Tendremos un total de 8. Además, esta diferencia puede alcanzar un valor de 11 en unos cuantos casos (6,1), (7,3),(8,5) y (9,7), otros 8 casos. Un total de 16 nuevos casos.
Los casos que no tienen ninguno son AAABB, AABBA, ABAAB, y ABBAA, en los que la diferencia es A, y no puede valer 0.
Dos casos muy diferentes son los de BAABA y BBAAA, en los que la diferencia también es A, pero sí puede valer 0, dando lugar a 9 números del tipo buscado, un total de 18 más.
Los casos AABAB, BAAAB, y BABAA tienen una diferencia 2B – A, en los que tenemos unas cuantas combinaciones válidas con números diferentes (2, 1), (4, 2), (6, 3) y (8, 4) en los que da 0, y (1, 6), (3, 7), (5, 8) y (7, 9), en los que la diferencia es 11, lo que hace un total de 24 nuevos números.
Por último, hay un caso especial, el ABABA, en el que la diferencia es 3A – 2B, que puede dar -11, para los valores (1, 7), puede dar 0 en (2, 3), (4, 6) y (6, 9), puede dar 11 en (5, 2), (7, 5) y en (9, 8), e incluso puede dar 22 en (8, 1), lo que añade 8 nuevos casos.
En total, si no hemos perdido ningún caso en el proceso, tenemos un total de 18 + 16 + 18 + 24 + 8 = 84 números de 5 cifras bicífridos múltiplos de 11.
Otra manera de abordar este proceso es escribir el número como 10000a + 1000b + 100c + 10d + e siendo múltiplo de 11 y con una serie de condiciones para a, b, c, d, y e que sean algunos iguales entre ellos. Hay que trabajar con diferentes casos, y los resultados dan valores concretos también, pero creo que es más complicado.