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Triángulo con polinomios

Problema 4 de la Fase Local (viernes) de la Olimpiada Matemática Española (2018)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Determina los números reales x > 1 para los cuales existe un triángulo cuyos lados tienen las longitudes siguientes:

x⁴ + x³ + 2x² + x + 1

2x³ + x² + 2x + 1

x⁴ – 1.

Solución: Aquí


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  1. Los lados son
    a=x^4+x^3+2x^2+x+1=(x^2+1)(x^2+x+1)
    b=2x^3+x^2+2x+1=(x^2+1)(2x+1)
    c= x^4-1=(x^2+1)(x^2-1)
    Los tres lados son mayores que 0 para x>1.
    El lado a es el mayor de los tres lados cuando x>1.
    Además, si x>1, se cumple que a>b+c. Entonces siempre es posible construir un triángulo con dichos lados (desigualdad triangular).

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