Problema 1 de la Olimpiada de Mayo (2017)
Se dirige a una edad de: 12 años

A cada número de 3 dígitos Matías le sumó el número que se obtiene invirtiendo sus dígitos.

Por ejemplo, al número 927 le sumó el número 729.

Calcular en cuántos casos el resultado de la suma es un número con todos sus dígitos impares.

Solución:

Me gustó este ejercicio. Una alumna de 1º de ESO me explicó cómo lo abordaría, y trataré de mantener el esquema de sus ideas. Gracias, Silvia.

Como el segundo número está en el centro, al invertir las cifras quedará en el mismo sitio, de forma que la suma siempre será par. Eso quiere decir que, si tiene que situarse una cifra impar, es porque la suma que queda a la izquierda es mayor que 10, y por eso la cambia.

Por lo tanto, la primera y la tercera cifra, que se suman en la columna de las unidades, suman más de 10, y debe ser una suma impar, ya que a esta cifra, que quedará como unidad nada la transforma.

Pero hay que tener en cuenta que es la misma suma de las centenas, por lo tanto en esa columna suma impar, y no debe pasar de 10 en las decenas, porque si no la cambiaría a par.

Y el resultado, además, debe tener cuatro cifras.

Los valores válidos para la última cifra (unidades) serán, por lo tanto:
Un 2, y en ese caso, la tercera debe ser un 9. La cifra central, por tanto, puede ser 0, 1, 2, 3, 4.

Un 3, y la tercera será un 8. La central sigue teniendo las mismas posibilidades.

Un 4, y la tercera un 7 o un 9.

Un 5, y la tercera un 6 o un 8.

Un 6, y la tercera un 5, 7 o un 9.

Un 7, y la tercera un 4, 6, o un 8.

Un 8, y la tercera un 3, 5, 7, o un 9.

Un 9, y la tercera un 2, 4, 6, o un 8.

En total, la primera y la tercera tienen 20 posibilidades, y como las centrales tienen cinco opciones cada una, dan un resultado de 100 números diferentes.

Por tanto, Matías obtuvo en 100 casos números con todas sus cifras impares.

Ejemplos: 908, que suma 1717, o 249, que suma 1191.