Category: Olimpiada Matemática Española

Problema 4 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Calcular todos los pares de enteros (x, y) que cumplen la siguiente igualdad: 3⁴·2³ (x² + y²) = x³·y³.
Solución: Aquí.

Problema 1 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Un conjunto de números enteros T es orensano si existen tres números, llamados a, b y c, a < b < c, tales que a y c pertenecen a T y b no pertenece a T.

Hallar el número de subconjuntos T de {1, 2, … , 2019} que son orensanos.

Solución: Aquí.

Problema 4 de la Fase Nacional de la XLVII OME 2011
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABC un triángulo con un ángulo en A que es doble del ángulo en B, y un ángulo en C mayor de 90º.

Sea D un punto de la recta AC tal que BD es perpendicular a BC, y M el punto medio de AB.

Demuestra que el ángulo AMC coincide con el ángulo DMB.

Solución: Aquí.

Problema 3 del sábado de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Consideramos un triángulo ABC y un punto D en el lado AC.

Si la longitud de AB y de DC es 1, el ángulo DBC es de 30º, y ABD es de 90º, calcula la longitud de AD.

Solución: Continue reading Solución a un triángulo con 120 grados

Problema 3 del sábado de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Consideramos un triángulo ABC y un punto D en el lado AC.

Si la longitud de AB y de DC es 1, el ángulo DBC es de 30º, y ABD es de 90º, calcula la longitud de AD.
Solución: Aquí.

Problema 2 del sábado de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Prueba que para todo a, b, c > 0 se cumple la siguiente desigualdad: a²/(b³c) – a/b² ≥ c/b – c²/a.

¿En qué caso se cumple la igualdad?

Solución: Aquí.