Solución a cinco circunferencias

Fase Comarcal de la Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana 2016, nivel B
Se dirige a una edad de: 15/16

En el dibujo, podemos ver cinco circunferencias, una más grande que contiene a las otras, dos medianas y dos más pequeñas. Todas son tangentes a tres o cuatro de las otras.

Sabemos que el radio de las circunferencias medianas mide 1 metro. ¿Cuánto mide el radio de las pequeñas?

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Cinco circunferencias

Fase Comarcal de la Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana 2016, nivel B
Se dirige a una edad de: 15/16

En el dibujo, podemos ver cinco circunferencias, una más grande que contiene a las otras, dos medianas y dos más pequeñas. Todas son tangentes a tres o cuatro de las otras.

Sabemos que el radio de las circunferencias medianas mide 1 metro. ¿Cuánto mide el radio de las pequeñas?

Solución: Aquí

Solución a la consultora grande

Reto de selección para el Mathcamp 2017
Se dirige a una edad de: 13-18
Autor: Bill Kuszmaul

La doctora Grande es una consultora matemática que se especializa en números grandes. Inicia su negocio con una lista de 100 clientes ordenados en orden de importancia (el 1 es el más importante). Cada día, Grande tiene tiempo de visitar sólo a uno de sus clientes.

Un cliente se siente insatisfecho si Grande aún no le ha visitado, o si Grande ha visitado a alguien menos importante desde la última vez que le visitó. Cada día, Grande visita al cliente más importante que se siente insatisfecho. El primer día, Grande visita al cliente 1, el segundo día, al cliente 2, el tercer día, al cliente 1, y así sucesivamente.

Cuando ninguno de los clientes se sienta insatisfecho, la doctora Grande podrá, por fin, retirarse.

(a) Prueba que la doctora Grande podrá retirarse, eventualmente, algún día.

(b) A lo largo de la carrera de la doctora Grande ¿cuántos días se despierta insatisfecho el cliente que ocupa la posición n-ésima de la lista?

(c) Describe de forma clara el conjunto de clientes que se despiertan insatisfechos en el n-ésimo día de la carrera de la doctora Grande.

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La consultora grande

Reto de selección para el Mathcamp 2017
Se dirige a una edad de: 13-18
Autor: Bill Kuszmaul

La doctora Grande es una consultora matemática que se especializa en números grandes. Inicia su negocio con una lista de 100 clientes ordenados en orden de importancia (el 1 es el más importante). Cada día, Grande tiene tiempo de visitar sólo a uno de sus clientes.

Un cliente se siente insatisfecho si Grande aún no le ha visitado, o si Grande ha visitado a alguien menos importante desde la última vez que le visitó. Cada día, Grande visita al cliente más importante que se siente insatisfecho. El primer día, Grande visita al cliente 1, el segundo día, al cliente 2, el tercer día, al cliente 1, y así sucesivamente.

Cuando ninguno de los clientes se sienta insatisfecho, la doctora Grande podrá, por fin, retirarse.

(a) Prueba que la doctora Grande podrá retirarse, eventualmente, algún día.

(b) A lo largo de la carrera de la doctora Grande ¿cuántos días se despierta insatisfecho el cliente que ocupa la posición n-ésima de la lista?

(c) Describe de forma clara el conjunto de clientes que se despiertan insatisfechos en el n-ésimo día de la carrera de la doctora Grande.

Solución: Aquí

Solución a Pulseras de Fibonacci

Prueba de selección para ESTALMAT 2016

Se dirige a una edad de: 11/13

Disponemos de muchas cuentas, numeradas del 0 al 7.

Tratamos de hacer pulseras, siguiendo unas reglas.

En cada pulsera, al sumar los números de dos cuentas consecutivas, debe dar el número de la que les sigue.

Si esa suma es mayor de 7, empezaremos a contar desde 0 de nuevo, es decir, si la suma da once, por ejemplo, la cuenta que pondremos será la 3, ya que el ocho es como la cuenta 0, el nueve será como el 1, el diez como el 2, y el once como el 3. En el momento que vuelvan a repetirse dos cuentas, podremos cerrar la pulsera.

Un ejemplo de pulsera sería la que aparece debajo de esta línea.

Indica todas las pulseras diferentes que pueden construirse, detallando por qué no pueden hacerse más.

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Pulseras de Fibonacci

Prueba de selección para ESTALMAT 2016

Se dirige a una edad de: 11/13

Disponemos de muchas cuentas, numeradas del 0 al 7.

Tratamos de hacer pulseras, siguiendo unas reglas.

En cada pulsera, al sumar los números de dos cuentas consecutivas, debe dar el número de la que les sigue.

Si esa suma es mayor de 7, empezaremos a contar desde 0 de nuevo, es decir, si la suma da once, por ejemplo, la cuenta que pondremos será la 3, ya que el ocho es como la cuenta 0, el nueve será como el 1, el diez como el 2, y el once como el 3. En el momento que vuelvan a repetirse dos cuentas, podremos cerrar la pulsera.

Un ejemplo de pulsera sería la que aparece debajo de esta línea.

Indica todas las pulseras diferentes que pueden construirse, detallando por qué no pueden hacerse más.

Solución: Pulsa aquí.

Solución a Saludos en tres parejas

Primero y segundo de ESO, Olimpiada Matemática de Secundaria, 2017

Se dirige a una edad de: 12/14 años

Tres parejas se reúnen para comer. Cada persona llega en un momento diferente, y saluda a todos los que están, excepto a su pareja.

Cuando todos están reunidos, uno de ellos pregunta a cada asistente a cuántas personas ha saludado al llegar, obteniendo cinco respuestas distintas.

¿En qué lugar ha llegado la persona que pregunta, que llegó después que su pareja?

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