Solución a piratas

Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Un grupo de 12 piratas de edades diferentes se reparte 2022 monedas, de manera que cada pirata (salvo el más joven) tiene una moneda más que el siguiente más joven.

A continuación, cada día se procede de la siguiente manera: se escoge un pirata que tenga al menos 11 monedas y ese pirata da una moneda a todos los demás.

Encontrar el mayor número de monedas que un pirata puede llegar a tener.
Solución:
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Piratas

Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Un grupo de 12 piratas de edades diferentes se reparte 2022 monedas, de manera que cada pirata (salvo el más joven) tiene una moneda más que el siguiente más joven.

A continuación, cada día se procede de la siguiente manera: se escoge un pirata que tenga al menos 11 monedas y ese pirata da una moneda a todos los demás.

Encontrar el mayor número de monedas que un pirata puede llegar a tener.
Solución: Aquí.

Solución a igualdad y conclusión

Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sean a1, a2, a3, a4, a5 y a6 números reales diferentes, de manera que ninguno de ellos es igual a 0.

Supongamos que (a1² + a2² + a3² + a4² + a5²)(a2² + a3² + a4² + a5² + a6²) = (a1a2 + a2a3 +a3a4 + a4a5 + a5a6)².

Demuestra que los números a1, a2, a3, a4, a5 y a6 están en progresión geométrica.

Solución:
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Igualdad y conclusión

Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sean a1, a2, a3, a4, a5 y a6 números reales diferentes, de manera que ninguno de ellos es igual a 0.

Supongamos que (a1² + a2² + a3² + a4² + a5²)(a2² + a3² + a4² + a5² + a6²) = (a1a2 + a2a3 +a3a4 + a4a5 + a5a6)².

Demuestra que los números a1, a2, a3, a4, a5 y a6 están en progresión geométrica.

Solución: Aquí.

Solución a bisectriz en un isósceles

Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABC un triángulo isósceles con el ángulo BAC de 100º.

La bisectriz del ángulo CBA corta al lado AC en el punto D.

Demostrar que BD + DA = BC.
Solución:
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Solución a números bonitos

Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Un número n de siete cifras es bonito si se puede expresar como la suma de dos números de siete cifras s y t, tales que todas las cifras de s son impares y todas las cifras de t son pares.

Determinar cuáles de los siguientes números son bonitos:

6204773, 6372538, 7343053, 8993267, 9652393.

Solución:
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Números bonitos

Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Un número n de siete cifras es bonito si se puede expresar como la suma de dos números de siete cifras s y t, tales que todas las cifras de s son impares y todas las cifras de t son pares.

Determinar cuáles de los siguientes números son bonitos:

6204773, 6372538, 7343053, 8993267, 9652393.

Solución: Aquí.

Solución a calculadora averiada

Problema 5 del concurso Olitele 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En mi calculadora, una y sólo una de las teclas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, o 9 funciona mal: cuando la pulsas, aparece en pantalla un dígito entre 1 y 9 que no es el que corresponde.

En esta calculadora, cuando quiero escribir el número 987654321, aparece en la pantalla un número divisible por 11 y que deja resto 3 al dividirlo por 9.

¿Cuál es la tecla que funciona mal, y qué cifra hace aparecer?

Solución:
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Calculadora averiada

Problema 5 del concurso Olitele 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En mi calculadora, una y sólo una de las teclas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, o 9 funciona mal: cuando la pulsas, aparece en pantalla un dígito entre 1 y 9 que no es el que corresponde.

En esta calculadora, cuando quiero escribir el número 987654321, aparece en la pantalla un número divisible por 11 y que deja resto 3 al dividirlo por 9.

¿Cuál es la tecla que funciona mal, y qué cifra hace aparecer?

Solución: Aquí.