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Category Archives: Soluciones
Solución a “Multiplicando”
Problema 1 del concurso Marató de problemes 2024 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Julián y Juia tienen el encargo de multiplicar dos números primos diferentes, cada uno de dos cifras, uno es el 31 y el otro lo indicamos como ab.
Julia ha multiplicado correctamente 31·ab pero en Julián se ha equivocado y el segundo número lo ha escrito con las cifras cambiadas de orden, es decir, que ha multiplicado 31·ba y en principio no se ha dado cuenta del despiste porque casualmente también multiplicaba dos números primos.
El resultado de Julia es 558 unidades más grande que el de Julián.
¿Cuál es el número que ha usado correctamente Juliana?
Solución:
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Solución a “Sumar 2024”
Problema 0 del concurso Marató de problemes 2024 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Tres números de tres cifras suman 2024.
Las nueve cifras que tienen son diferentes.
¿Qué cifra no hemos usado para construir esos tres números?
Solución:
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Solución a “Las tres compañeras”
Problema 4 del nivel C de la Olimpiada Provincial de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana de 2023 Se dirige a una edad de: 10 -11 años
Clara, Ana y Elisa van de excursión en autobús y están sentadas en tres asientos, una detrás de otra.
Las tres van vestidas de rojo, blanco y azul (no necesariamente en ese orden) y tienen como aficiones bailar, jugar al baloncesto y jugar al voleibol (aunque tampoco necesariamente en ese orden).
A partir de las pistas siguientes, indica en qué posición está sentada cada una, de qué color van vestidas y su afición.
Pistas:
1.- Clara está sentada entre dos compañeras y le ha prestado la ropa a la que va vestida de rojo.
2.- A Elisa nunca le han gustado los deportes que se practican con balón.
3.- Delante de la que baila, está sentada la que juega a voleibol.
4.- La última de la fila de asientos es la que viste de azul.
Solución:
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Solución a “Una ecuación complicada”
Problema 7 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea a > 1 un número real.
Encontrar todas las soluciones de la ecuación: raíz(a – raíz(a + x)) = x en función de a.
Solución:
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Solución a “Demasiados cuadrados”
Problema 6 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sean a, b, c tres números enteros, y sea p >= 5 un número primo.
Demostrar que, si an² + bn + c es el cuadrado de un número entero para 2p – 1 valores consecutivos de n, entonces b² – 4ac es un múltiplo de p.
Solución:
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Solución a “La fiesta”
Problema 5 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 años
En una fiesta hay 100 personas. Cada par de personas son o bien amigos o bien enemigos (una y solo una de las dos cosas).
Se cumple la siguiente propiedad: si A y B son enemigos y B y C son enemigos, entonces A y C son amigos.
Demostrar que hay dos personas X e Y que cumplen simultáneamente estas condiciones:
X tiene el mismo número de enemigos que Y .
X e Y son amigos.
Solución:
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Solución a “Cometa sobre trapecio”
Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD tal que AD = DC = CB = 5 y AB = 10.
Sea O el punto de intersección de las diagonales AC y BD.
La recta perpendicular a AC trazada por O corta a la prolongación del lado AD en E, y a la base AB en F.
Calcular el área del cuadrilátero AECF.
Solución:
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Solución a “Perpendicular en un cuadrilátero”
Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea ABCD un cuadrilátero.
Sean J e I los puntos medios de las diagonales AC y BD, respectivamente.
Sea G el punto de la recta BC tal que DG es perpendicular a BC y sea H el punto de la recta AD tal que CH es perpendicular a AD.
Las rectas DG y CH se cortan en el punto K.
Sea E el punto de la recta BC tal que AE es perpendicular a BC y sea F el punto de la recta AD tal que BF es perpendicular a AD.
Las rectas AE y BF se cortan en el punto L.
Probar que KL es perpendicular a JI.
Solución:
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Solución a “Dos polinomios muy parecidos”
Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea P(x) un polinomio de grado 5, y sean a y b dos números reales diferentes de 0.
Supongamos que el resto de P(x) al dividirlo por x³ + ax + b es igual al resto al dividirlo por x³ + ax² + b.
Determinar el valor de a + b.
Solución:
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Solución a “Sumas de números formadas por unos”
Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Hallar el menor entero positivo n tal que la suma de n sumandos
A(n) = 1 + 11 + 111 + … + 11…1
es divisible por 45.
Solución:
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