Solución a un cuadrado casi mágico

Problema 4 del Nivel 1 de la Olimpiada de Mayo de 2016
Se dirige a una edad de: 12 años

Dado un tablero de 3 x 3, se quiere escribir en sus casillas los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y un número entero positivo M, no necesariamente distinto de los anteriores. El objetivo es que la suma de los tres números de cada fila sea la misma.

a) Hallar todos los valores de M para los que esto es posible.

b) ¿Para cuáles de los valores de M hallados en (a) es posible acomodar los números de modo que no solo las tres filas sumen lo mismo sino que también las tres columnas sumen lo mismo?

Solución:

Es conveniente jugar un poco con la tarea, dejando vacío el hueco para el número M, hasta que tengamos una hipótesis.

Unas ideas deberían dar ciertas pistas. La suma de los ocho números más M debe ser múltiplo de 3, porque en caso contrario no es posible que las tres filas, que están separadas, sumen lo mismo.

Además, si quitamos la fila donde está la M, las otras dos deben sumar par, por el mismo motivo.

Una vez que tenemos claro estos argumentos, los valores más pequeños para la M incluyen los números de mayor suma posible en la misma fila, mientras que los valores mayores incluyen la suma más pequeña. Hay que tener en cuenta que M debe ser positivo, por lo que la suma de sus vecinos debe ser menor que la mitad de los otros de las otras filas.

Así, sumando los 8 números obtenemos 36, por lo que M deberá ser múltiplo de 3.

Es sencillo encontrar una configuración para el valor de M 3, en la que cada fila sume 13 (1 – 4 – 8, 2 – 5 – 6, 3 – 7 – 3). De la misma forma, lo podemos lograr para 6 y 9, pero el mayor es 12, ya que no podemos llegar a sumar más de 17 con tres números en dos filas, y que sobren dos números. Para 12, tenemos 2 – 6 – 8, 4 – 5 – 7, 1 – 3 – 12.

Los posibles valores serán por tanto 3 – 6 – 9 y 12, que es la respuesta al apartado (a).

Para el apartado (b) debemos encontrar al menos otra suma para cada uno de los valores que tenemos, lo que será posible en el caso de 3 (1 – 4 – 8, 5 – 6 – 2, 7 – 3 – 3), 6 (8 – 1 – 5, 4 – 7 – 3, 2 – 6 – 6) y 9 (5 – 1 – 9, 7 – 6 – 2, 3 – 8 – 4). Sin embargo, para el valor 12 no encontramos más que una forma de sumar 16 usando 12, 1 – 3 – 12, por lo que será imposible lograr una columna que sume también 16 y contenga este número.

Por lo tanto, la respuesta a (b) será 3, 6 y 9.