Problema 2 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo (2017) Se dirige a una edad de: 14 años
Varios números reales diferentes están escritos en la pizarra.
Si a, b y c son tres de estos números, al menos una de las siguientes sumas: a + b, a + c, b + c, también es uno de los números escritos en la pizarra.
¿Cuál es la mayor cantidad posible de números escritos en la pizarra?
Solución:
Si jugamos un poco con números, descubriremos rápidamente que es imposible elegir más de tres números positivos o tres negativos, ya que si ponemos más de esta cantidad, deberemos poner infinitos. Y que el cero podemos añadirlo siempre, porque sumarlo no cambia al número que se lo sumemos.
Explicarlo es algo más complicado. Supongamos que tenemos cuatro números diferentes positivos (el razonamiento para negativos es similar). Si los tomamos ordenados de mayor a menor a, b, c y d, tendremos que a, b, c son diferentes, así que una de las tres sumas, a + b, b + c o bien a + c también está escrito. Como a es el mayor, debe ser b + c (a + b y a + c deben ser mayores que a). Pero en ese caso, como es mayor que b, tenemos que b + c = a, que es el único mayor que b. Si repetimos el razonamiento para a, b, y d, tendremos que b + d = a, pero en ese caso c y d deben ser iguales, lo que no es posible según nuestro supuesto inicial.
Ahora, necesitamos, para finalizar, encontrar un conjunto que tenga tres números positivos, tres negativos y el cero, que sería el más grande posible.
Es sencillo encontrar varios. Por ejemplo, 6, 5, 1, 0, -1, -5, -6 sería un conjunto con 7 números con esa propiedad, y no puede haber una cantidad mayor de números escritos en la pizarra con esa propiedad.
