Solución a mil divisiones

Problema 2 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo (2018)
Se dirige a una edad de: 12 años

Se efectúan mil divisiones enteras: se divide 2018 entre cada uno de los números enteros del 1 al 1000.

Se obtienen así mil cocientes enteros con sus respectivos restos.

¿Cuál de estos mil restos es el mayor?

Solución:

En twitter, varias personas se han dado cuenta de cuál era la solución, pero en ese formato es difícil estudiar bien el asunto.

La idea que hay que buscar es estudiar los valores entre los que hay que dividir para que el resto sea lo mayor posible.

Debe ser un valor grande, ya que el resto siempre es un valor menor que el número entre el que se divide, y también debe ser un número que esté cerca de dar un resultado exacto, pero algo menor.

Puesto que 2018 dividido entre 1000 (el mayor de los números) da un cociente de 2, el que probablemente dé un resto mayor será aquel que el cociente sea 2, pero el anterior sea 3.

Observamos a continuación que 2018 entre 3 da 672 y resto 2, luego 2018 entre 672 da exactamente 3 y resto 2.
Lo que indica que 2018 entre 673 dará 2 de cociente, y resto 2018 – 1346 = 672.

Veamos que, en efecto, 672 es el mayor resto. Desde luego, dividir entre los números entre 1 y 672 dará un resto menor, pero es que al dividir entre 674 hasta 1000 da un cociente de 2, y los restos van decreciendo de dos en dos entre el 670 (para el 674) y 18 (para 1000).

Por lo tanto, el resto mayor es 672, y se produce cuando dividimos entre 673.

Decide en la encuesta siguiente la dificultad del problema, por favor:

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dimates

Grupo de divulgación matemática de la Universidad de Alicante

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