Solución a cruzando el río

Problema 1 de la prueba de selección de Estalmat 2018
Se dirige a una edad de: 11-12 años

En una de las orillas de un río hay 3 adultos, 2 niños y una barca de remos muy pequeña.

Queremos que todas las personas crucen el río utilizando la barca.

En la barca sólo caben o bien un solo adulto o bien 2 niños.

Todos saben remar y está permitido que un niño vaya solo en la barca.

Entendemos por viaje a remar de un lado al otro del río:

a) ¿Cuál es el mínimo número de viajes que habrá que hacer para que todas las personas crucen el río? Explica cómo has llegado al resultado.

b) ¿Y si hubiera 8 adultos y 2 niños? ¿Y si hubiera 100 adultos y 2 niños? Explica cómo has llegado a tus respuestas.

c) Explica cómo podemos encontrar el mínimo número de viajes necesarios para cualquier número de adultos y 2 niños.

d) Si ahora, en una de las orillas hay 4 adultos y 3 niños ¿cuál es el número mínimo de viajes que habrá que hacer para que todas las personas crucen el río? ¿Cómo los harías?

e) ¿Y si hubiera 8 adultos y 3 niños? ¿Y si hubiera 100 adultos y 3 niños? Explica cómo podemos encontrar el mínimo número de viajes necesarios para cualquier número de adultos y 3 niños.

f) Explica cómo podemos encontrar el mínimo número de viajes necesarios para cualquier número de adultos y cualquier número de niños.
Solución:

Se trata de una generalización sobre un conocido problema de lógica (o de logística).

La idea es que empiecen tanteando la solución, para poder comprobar cómo de maduros son a la hora de explicar sus ideas.

El apartado a) es muy sencillo. Puesto que la barca debe regresar a por mas gente, los primeros en cruzar deben ser dos niños, y vuelve uno de ellos.

Después puede cruzar un adulto y vuelve otro niño con la barca.

Para que cruce un adulto debe volver a repetirse la misma operación, de forma que cada adulto requiere 4 viajes, y uno más para los niños, que quedarán en la orilla primera. Por tanto, 13 viajes.

De la misma manera, con 8 adultos serían 33 viajes (4 viajes por adulto y uno más para los niños).

Para expresar el número de viajes para cualquier número de adultos, pueden usar el lenguaje de diversas formas. Los más maduros recurrirán a fórmulas y otros lo expresarán con palabras. La solución al apartado c) sería algo parecido a 4a + 1.

Si hay 8 adultos y 3 niños, el sistema para cruzar será similar. Dos niños cruzan en un único viaje, pero uno tendrá que devolver la barca al otro lado si queda gente por cruzar, así que, excepto en el último viaje, que pueden cruzar dos personas y no volver, cada niño requiere dos viajes.

Además, en la mejor solución, siempre debe ser un niño el que devuelva la barca. Por lo tanto el número de viajes será 32 para cruzar los adultos, y tres para los niños (2 viajes para un niño y uno sólo para los otros dos). Uno de los niños podrá viajar en cualquier momento, pero los dos últimos deberán viajar en el último momento. Ampliamos el número de formas para hacerlo, pero no podemos disminuir el número de viajes. Total, 35 viajes.

Para 100 adultos y 3 niños, 403 viajes.

Será mucho más difícil que diesen con la fórmula general, que sería 4a + 2n – 3. Y creo que es muy difícil que la pudiesen explicar satisfactoriamente.

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dimates

Grupo de divulgación matemática de la Universidad de Alicante

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