Solución a áreas con un pentágono

Problema 3 del nivel A fase comarcal de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2018
Se dirige a una edad de: 11-12 años

Se presentan cinco círculos iguales, de un centímetro de radio, cuyos centros se unen para construir un pentágono regular como se indica en la figura.

La zona sombreada se corresponde con las áreas de los círculos que quedan en el exterior del pentágono.
¿Cuánto mide la zona sombreada?

¿Y si el pentágono no fuese regular?
Solución:

El área de cada círculo es sencilla de calcular, ya que coincide con el número Pi (la fórmula del área del círculo es Pi*radio al cuadrado, y el radio de cada círculo mide 1). Ahora, debemos saber cuántos círculos podríamos construir con los pedazos que nos quedan.

Si nos damos cuenta, el pentágono interior se puede siempre dividir en tres triángulos, cuyos ángulos interiores sumarán cada uno 180º.

Por tanto, los ángulos interiores del pentágono sumarán lo mismo que el total de los tres triángulos, es decir 3·180º = 540º.

Por lo tanto, le habremos quitado a los cinco círculos un ángulo igual a un círculo y medio (un círculo completo son 360º).

El área que nos quedará, por tanto, será de 3,5·Pi, el equivalente a tres círculos y medio. Y ésto no depende de cómo sea el pentágono. El razonamiento es válido para cualquier pentágono, ya que todos se pueden descomponer en tres triángulos.

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dimates

Grupo de divulgación matemática de la Universidad de Alicante

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