Solución a sumas consecutivas

Problema 1 del nivel A fase comarcal de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2018
Se dirige a una edad de: 11-12 años

Determina cuantos números menores que 2018 cumplen las dos condiciones siguientes a la vez:

a. Ser suma de dos naturales consecutivos.

b. Ser suma de siete naturales consecutivos.

Solución:

Hay que tener en cuenta que en estas edades, aún no se tiene un gran dominio del álgebra, por lo que conviene tratar de resolverlo de forma intuitiva, para que puedan aplicar ideas a problemas posteriores.

Los números que son suma de dos consecutivos son los impares, ya que los pares son sumas de dos iguales, y basta añadir uno al resultado.

De forma similar, pensando un poco, sumar siete consecutivos va a dar un múltiplo de siete, ya que equivaldría a sumar siete veces el central.

Vamos a tratar más esta idea: piensa en una suma consecutiva concreta, por ejemplo, 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9. El central es 6, y los que están a la derecha se diferencian en lo mismo que los que están a la izquierda, de forma que si cambiamos esas diferencias entre los números para hacerlos todos iguales, la suma queda 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6. Es decir, 7 veces el central. Esta idea se puede llevar a cabo con todas las sumas consecutivas en las que haya un número central.

Pero como mínimo deben sumar 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28.

Es decir, buscamos cuántos múltiplos de 7 impares y mayores que 28 hay previos a 2018. Si dividimos 2018 entre 7, obtenemos 288, de los cuales 144 son impares. Sin embargo, hay que quitar los dos primeros (el 7 y el 21), por lo que la respuesta será 142.

El primero es el 35 (17 + 18 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8, y el último es 2009, 1004 + 1005 = 284 + 285 + 286 + 287 + 288 + 289 + 290).

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Grupo de divulgación matemática de la Universidad de Alicante