Solución a divisible entre 37

Problema 1 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Para cada número de cuatro cifras abcd, denotamos por S al número S = abcd – dcba. Demuestra que S es múltiplo de 37 si y sólo si las dos cifras centrales del número abcd son iguales.

Solución:
Éste, pese a ser un problema de la Olimpiada Matemática Española, es un problema sencillo.

La pista que debemos seguir es lo que le pasa a un número cuando realizamos la resta que pide.

Por ejemplo, 4321 – 1234 = 3087, que podemos comprobar que no es divisible por 37 (37·83 = 3071), pero 5224 – 4225 = 0999, que es 37*27.

Construir un número a partir de sus cifras consiste en escribirlo como 1000·a + 100·b + 10·c + d.

Así, la resta S = 1000·a + 100·b + 10·c + d – (1000·d + 100·c + 10·b + a) = 999·a + 90·b – 90·c – 999·d.

Supongamos que nuestro número sí tiene las dos cifras centrales iguales, entonces 90·b – 90·c = 0, por lo que S = 999·a – 999·d = 999(a – d) = 37·27(a – d), que evidentemente es múltiplo de 37.

Ahora bien, si, por el contrario, suponemos que S es múltiplo de 37, entonces S = 37·k para un cierto valor entero k. Por lo tanto, la igualdad es 37k = 999a + 90b – 90c – 999d, y por tanto 37k + 999d – 999a = 90b – 90c, es decir, que 37(k + 27d – 27a) = 90(b – c), sacando factor común en cada extremo de la igualdad.

Como 37 es un factor primo y divide claramente al primer número, también debe dividir al segundo, por lo que divide a uno de los dos factores. Evidentemente, no divide a 90, y para que divida a b – c, que es un número entre -9 y 9, puesto que b y c son cifras en base 10, necesariamente b – c = 0, es decir b = c, como se pedía.

Nota: este problema depende claramente de que el número 37, así como el número de partida, estén escritos en base diez, ya que la factorización de a³ – 1 en otra base a que no sea la decimal puede contener otros factores.