Solución a edades en una reunión

Problema 5 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En una reunión se da el curioso caso de que la media de las edades de las personas presentes coincide con el número de personas.

En ese momento, llega a la reunión otra nueva persona que tiene una edad A, y ¡qué casualidad! Vuelve a darse que la edad media coincide con el número de personas presentes.

¿Cuántas personas hay al final, en función de la edad A?

Solución:

Vamos a imaginar que nos dan una edad concreta, por ejemplo, 19.

La idea es que no sabemos cuántas personas hay, pero sí que aumenta en una persona.

Es decir, que si teníamos antes de venir la última persona n personas, la media de las edades era n, y eso quiere decir que la la suma de todas las edades, partida por n, da n.

Es decir, que la suma de todas las edades es n², es decir, un cuadrado perfecto.

Como eso tiene que pasar cuando llega otra persona, entonces, la suma de las edaddes después será (n + 1)². Aplicando las fórmulas que conocemos, resulta que 19 + n² = (n + 1 )², por lo que, desarrollando y despejando, tenemos que 19 = 2n + 1, es decir, que n = 9, y al llegar la persona de 19 años, pasa a haber 10, de media 10 (observa que 81 + 19 = 100).

Luego A sólo puede ser un número impar, y el número de personas tras aparecer este último, será (A + 1)/2.

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dimates

Grupo de divulgación matemática de la Universidad de Alicante

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