Problema 12 del concurso Marató de problemes 2022 Se dirige a una edad de: 14-15 años
En una sala hay m personas que tienen una media de edad de A años y A es un número entero.
Entonces llega otro grupo con n personas que tienen una media de edad de A + 7 años.
Resulta que la media de edad de todas las personas de la sala es, ahora, también un número entero.
¿Cuántos valores diferentes puede tener la razón m/n y cuál es la suma de todos esos valores?
A los concursantes, en lugar de 7 les aparecía otro valor, que dependía de su contraseña.
Solución:
Es clave probar con valores diferentes para estudiar las relaciones que se pueden dar.
En primer lugar, puesto que hay m personas y tiene una media de A años de edad, sabemos que A·m sería la suma de todas las edades (por ejemplo, si la media de edades fuese 20, y hubiese 11 personas, la suma de las edades sería 220).
Cuando llega un grupo de n personas, con una media de A + 7, tendremos que la suma de las edades de estas n personas será (A + 7)n = A·n + 7n (por ejemplo, si llegan 5 personas con una media de edades de 27, sumarían un total de 135 años).
Ahora, para calcular la media global, debemos sumar las edades de ambos grupos, A·(m + n) + 7n, y esto debería ser divisible por el total de personas, m + n (en nuestro ejemplo, tendríamos 20·16 + 7·5 = 320 + 35 = 355, pero en ese caso, no es divisible por 16, es decir, la media no sería un número entero).
Puesto que la parte A·(m + n) es divisible siempre entre m + n, tenemos que m + n debe dividir a 7n. Y, puesto que 7 es un número primo, y n es menor que m + n, m + n debe ser un múltiplo de 7.
Construyamos un primer ejemplo. Imaginemos que m y n suman, por ejemplo, 7.
Puede ser que m sea 1 y n sea 6, por ejemplo. En ese caso, nuestro ejemplo sería 20 de edad media (y única) en el primer grupo y la suma de edades sería 27·6 = 162 en el segundo. El total de edades sería 182, que dividido por 7 daría, en efecto, 26. En ese caso, m/n es 1/6. Algebraicamente, se puede descubrir que la media del grupo completo en ese caso siempre es A + 6. Recíprocamente, si la media es A + 6, entonces tenemos que A(m + n) + 7n = A(m + n) + 6m + 6n, con lo que n = 6m, y m/n es 1/6.
También podría ser que m sea 2 y n sea 5, por ejemplo. En ese caso, tenemos que en nuestro ejemplo la media de edades sería 25, y m/n sería 2/5. Además, la media de edades siempre coincidiría con A + 5.
Esto da una idea muy conveniente para finalizar el problema. La media de edades siempre es un valor intermedio entre A y A + 7, y por tanto el conjunto de posibles cocientes de m/n sería 1/6, 2/5, 3/4, 4/3, 5/2 y 6.
Y la suma de todos esos posibles valores sería 1/6 + 2/5 + 3/4 + 4/3 + 5/2 + 6 = 10/60 + 24/60 + 45/60 + 80/60 + 150/60 + 360/60 = 669/120 = 223/20.
