Problema 4 del concurso Marató de problemes 2025
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En una hoja cuadriculada, en la cual cada cuadrado suponemos que tiene una superficie de 1 cm², hemos dibujado dos rectángulos, de lados paralelos y que tienen un vértice en común.

Entre los lados del pequeño y del grande que no se superponen hay una franja de un cuadrado de ancho.

La siguiente figura lo muestra:

Trazamos la diagonal del rectángulo grande, que une los dos vértices enfrentados que no coinciden con el pequeño, y esa diagonal determina un triángulo en el rectángulo pequeño.

¿Cuál es el valor exacto del área de este triángulo pequeño?

Solución:

Podemos hacer fácilmente el cálculo del tamaño de los segmentos mediante el uso de proporciones, o usar las ecuaciones de la recta para conocer los tamaños precisos.

En el primer caso, por semejanza, vemos que el triángulo rectángulo que forma la diagonal con el triángulo grande tiene un tamaño de catetos de 3 (vertical) y 4 (horizontal).

Es evidente que hay un par de triángulos semejantes que se forman en ambas tiras de 1 cuadrado de anchura.

En el dibujo, el de abajo a la izquierda, tendrá un cateto vertical de 1, por lo que su cateto horizontal tendrá un tamaño de 4/3.

El de arriba a la derecha, tendrá un cateto horizontal de 1, por lo que su cateto vertical medirá ¾.

Como esos dos segmentos los quitamos del lado del rectángulo pequeño, podemos saber lo que miden los dos catetos, el vertical 2 – ¾ = 5/4 y el horizontal mide 3 – 4/3 = 5/3.

Evidentemente, ese nuevo triángulo mantiene las proporciones con el original, ya que (5/3)/(5/4) = 4/3.

Pero nosotros queremos el área, que será (5/3)·(5/4)/2 = 25/24 unidades, en este caso 25/24 centímetros cuadrados.

Con ecuaciones de rectas, podemos poner para más facilidad los ejes en la esquina izquierda inferior.

El lado horizontal del rectángulo pequeño tendrá la ecuación y = 1, y la diagonal, que pasa por el punto (0,0) y (4, 3), la ecuación 3x – 4y = 0. Haciendo un sistema, vemos que se cortan en el punto (4/3, 1) y por tanto el lado horizontal del triángulo va desde este punto al (3, 1), tiene una distancia de 3 – 4/3 = 5/3.

El lado vertical del rectángulo tiene la ecuación x = 3, y al cortarlo con 3x – 4y = 0 tenemos el punto (3, 9/4), cuya distancia al (3, 1) será 9/4 – 1 = 5/4.

A partir de aquí el razonamiento será exactamente el mismo.