Problema 5 del concurso Marató de problemes 2025
Se dirige a una edad de: 14-15 años

¿Cuántos números son divisores del número 78⁹⁹ o del número 786⁹⁹⁹ o de ambos?

Solución:

Para calcular el número de divisores una de las formas más cómodas es ver su descomposición en factores primos, que son las piezas más simples que lo forman.

La de 78 es 2·3·13, por lo que el primer número es 99 factores 2, 99 factores 3 y 99 factores 13.

La descomposición de 786 es 2·3·131, por lo que el segundo es 999 factores 2, 999 factores 3 y 999 factores 131.

Para contar los divisores totales voy a contar todos los de el primer número, todos los del segundo, y luego voy a quitar todos los que lo sean de ambos, que los habremos contado dos veces.

Los del primer número serán un total de 100·100·100 = 1 000 000 (un millón).

Los del segundo número serán un total de 1000·1000·1000 = 1 000 000 000 (mil millones).

Ahora, el máximo común divisor de ambos números es claramente 2 elevado a 99 por 3 elevado a 99, que tiene nada menos que 100·100 divisores, 10 000. Todos ellos se habrán contado en ambas ocasiones.

Que cumplan las condiciones del problema serán por tanto: 1 000 990 000 (mil millones novecientos noventa mil).

Aclaración. Si un número es producto de un cierto número a de veces de un número primo por un cierto número b de veces de otro primo diferente, sus divisores estarán formados por potencias del primero por el segundo, que puede ser desde la potencia cero al número a en el primero y del cero al b en el segundo, por lo que el número de divisores será (a + 1)(b + 1).