Problema 6 del concurso Marató de problemes 2025 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Los estudiantes de un grupo de ESO votan para elegir delegados.
Se presentan tres estudiantes, Ariadna, Berta y Carla, y la tutora decide el siguiente sistema de votación:
Cada persona que participa en la votación ha de hacer constar su preferencia entre las tres candidatas ordenándolas primera, segunda o tercera.
La primera recibe 1 punto, la segunda 2 puntos y la tercera 4 puntos.
La ganadora será la que reciba la puntuación más baja, naturalmente.
Después de hacer el recuento de la votación, en la que se comprobó que todas las papeletas cumplían la normativa, el resultado fue:
Ariadna fue la estudiante con menor puntuación, 44 puntos, y eso que sólo 4 estudiantes la pusieron como primera opción.
Berta fue la segunda clasificada con 45 puntos. Fue la que más veces de las tres apareció como primera opción.
Carla, que quedó en tercer lugar con 51 puntos, fue la que más gente puso como tercera opción.
Determina en cuántas papeletas quedó Berta en primera opción, en cuántas en segunda opción y en cuántas en la tercera posición.
Solución:
Tuve más dificultades de las previstas para resolver el problema, porque no veía claras ciertas relaciones entre las variables y parecía tener varias soluciones, hasta que me di cuenta de un detalle.
Lo primero que debemos hacer es calcular cuántos votos hubo, que es bastante fácil, ya que cada voto concede 1 + 2 + 4 = 7 puntos, y el total de puntos es 44 + 45 + 51 = 140, por lo que hubo 20 electores.
Sabemos que Ariadna obtuvo 4 puntos en primera opción, por lo que los otros 40 se reparten de forma que 40 = 2a2 + 4a3, donde a2 es el número de papeletas en que salió segunda opción y a3, el número en que quedó en tercera.
Berta sabemos que fue 45 = b1 + 2b2 + 4b3, y que b1 es mayor que 4 y que c1.
Por último, que 51 = c1 + 2c2 + 4c3, donde c3 es mayor que b3 y que a3.
Teniendo en cuenta que el número total de votos es 20, b1 + c1 = 16 (4 han ido a Ariadna), b1 + b2 + b3 = 20, y a3 + b3 + c3 = 20.
Y hay una tercera familia de relaciones que en principio no detecté (tuve que construir una posible solución para darme cuenta) y es que, como los nombres salen exactamente en 20 papeletas, tendríamos que 20 = 4 + a2 + a3, 20 = b1 + b2 + b3, y 20 = c1 + c2 + c3.
Tenemos que encontrar 8 variables y tenemos 9 relaciones, además de una relación implícita de tipo diofántico (todos los valores deben ser enteros y positivos) que tal vez condicionen al final, y cuatro desigualdades.
Son muchas relaciones, vamos a empezar por simplificarlas.
20 = a2 + 2a3
45 = b1 + 2b2 + 4b3
51 = c1 + 2c2 + 4c3
16 = b1 + c1
20 = a2 + b2 + c2
20 = a3 + b3 + c3
16 = a2 + a3
20 = b1 + b2 + b3
20 = c1 + c2 + c3
Ahora, usamos una de ellas para eliminar a2, por ejemplo, de todas las demás. Uso 16 = a2 + a3 y lo resto de aquellas que sea necesario.
4 = a3
45 = b1 + 2b2 + 4b3
51 = c1 + 2c2 + 4c3
16 = b1 + c1
4 = b2 + c2 – a3
20 = a3 + b3 + c3
20 = b1 + b2 + b3
20 = c1 + c2 + c3
Por tanto, a3 = 4, y tenemos que a2 en consecuencia vale 12. Introducimos este dato en las ecuaciones y simplificamos.
45 = b1 + 2b2 + 4b3
51 = c1 + 2c2 + 4c3
16 = b1 + c1
8 = b2 + c2
16 = b3 + c3
20 = b1 + b2 + b3
20 = c1 + c2 + c3
Ya sabemos todo lo que hay que saber sobre los votos de Ariadna, vamos a intentar eliminar c1 utilizando la relación 16 = b1 + c1.
45 = b1 + 2b2 + 4b3
35 = 2c2 + 4c3 – b1
8 = b2 + c2
16 = b3 + c3
20 = b1 + b2 + b3
4 = c2 + c3 – b1
Ahora, eliminamos c2 utilizando 8 = b2 + c2.
45 = b1 + 2b2 + 4b3
19 = 4c3 – b1 – 2b2
16 = b3 + c3
20 = b1 + b2 + b3
4 = b2 – c3 + b1
Vamos viendo que cada vez el número de relaciones es menor, ahora eliminamos c3 usando 16 = b3 + c3. Todas estas relaciones que usamos las podemos recuperar más adelante por si necesitamos saber qué valores tienen c1, c2 y c3.
45 = b1 + 2b2 + 4b3
45 = b1 + 2b2 + 4b3
20 = b1 + b2 + b3
20 = b1 + b2 + b3
Como podemos apreciar, las dos últimas relaciones están repetidas, con lo que sólo nos quedan dos relaciones con tres incógnitas por determinar. Vamos a utilizar esa última relación para eliminar b1, 20 = b1 + b2 + b3.
25 = b2 + 3b3.
Puesto que sabemos que deben ser números enteros entre 0 y 20, el valor de b3 debe estar entre 2 y 8.
Veamos qué consecuencias tiene cada uno de ellos.
Si b3 vale 2, b2 valdría 19 y Berta aparecería en demasiadas papeletas.
Si b3 vale 3, b2 valdría 16, b1 debería valer 1, y no podría ser el mayor número entre 4, b1 y c1.
Si b3 vale 4, b2 valdría 13, b1 debería valer 3, y no podría ser el mayor número entre 4, b1 y c1.
Si b3 vale 5, b2 valdría 10, b1 debería valer 5, y no podría ser el mayor número entre 4, b1 y c1, ya que c1 debería valer 11.
Si b3 vale 6, b2 valdría 7, b1 debería valer 7, y no podría ser el mayor número entre 4, b1 y c1, ya que c1 debería valer 9.
Si b3 vale 8, b2 valdría 1, b1 debería valer 11, pero en ese caso c3 también vale 8, ya que 16 = b3 + c3, y Carla no sería la que más votos en tercer lugar habría obtenido, pues habría empatado con Berta.
Así pues, la única respuesta válida es que b3 es 7, b2 vale 3 y b1 vale 10. En ese caso, c1 = 6, c2 = 5 y c3 = 9, que es una solución totalmente coherente con el enunciado.
En consecuencia, Berta ha salido en 10 papeletas como primera opción, en 3 como segunda y en 7 como tercera opción.