Problema 0 del concurso Marató de problemes 2022
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En la imagen, aparecen las letras de BON2022 en cierta posición, de forma que podemos recorrer ordenadamente los caracteres de esa expresión comenzando por la B, siguiendo los movimientos hacia la derecha, hacia arriba, hacia la izquierda o bien hacia abajo, nunca en diagonal.

¿De cuántas formas lo podemos hacer?

Solución:
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Problema 15 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Consideramos el conjunto A_n = {1, 2, 3, … , 10^{n – 1}, 10ⁿ} de todos los enteros positivos desde el 1 hasta el 10ⁿ.

a) Razona cuántos números del conjunto A_n son múltiplos de 2 o múltiplos de 3.

b) Razona cuántos números del conjunto A_n son múltiplos de 8 o múltiplos de 11.

Nota. La o no es exclusiva, es decir, que hay que incluir en el recuento los que sean múltiplos de ambos números. Naturalmente, la respuesta se dará en función de n, aunque es posible que algunos casos se deban detallar.
Solución:
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Problema 14 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En un triángulo acutángulo trazamos, desde el punto medio de cada lado, las dos perpendiculares a los otros dos lados.
Justifica que estas 6 rectas forman un hexágono.

¿Qué valor tiene la razón entre las áreas del triángulo y del hexágono?

Demuestra que la razón que has calculado es constante, es decir, no depende de cuál sea el triángulo inicial.

Solución:
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Problema 13 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Una pirámide de base cuadrada tiene todas sus caras triangulares formadas por triángulos equiláteros, de la misma longitud L.

Cortamos esta pirámide por un plano paralelo a la base y proyectamos sobre la base los cuatro puntos de corte de este plano con las aristas.

De esta forma, queda definido un cubo. Podemos ver un dibujo en la imagen siguiente.

¿Qué porcentaje del volumen de la pirámide queda ocupado por este cubo?

Solución:
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Problema 12 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En una cuadrícula de RxR casillas escribimos un 1 en todas las casillas que corresponden a una fila impar y columna impar; escribimos un 4 en todas las casillas que corresponden a una fila y una columna que tienen diferente paridad, y escribimos un 7 en las casillas que corresponden a una fila par y una columna par.

¿Cuál es la media aritmética de todos los números que hemos escrito?

Nota: debemos proporcionar una expresión para el caso en que R sea par, y otro para el caso en que R sea impar. Si, además, proporcionamos una expresión que sea válida para ambos casos, supondrá una puntuación extra (0,2 puntos añadidos a los 3 del problema).

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