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Category Archives: Olimpiadas
Solución a enteros olímpicos
Problema 2 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Dado un número entero positivo n, definimos λ(n) como el número de soluciones enteras positivas de la ecuación x² – y² = n.
Diremos que el número n es “olímpico” si λ(n) = 2021.
¿Cuál es el primer entero positivo que es olímpico?
¿Y cuál es el menor entero positivo impar que es olímpico?
Solución:
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Enteros olímpicos
Problema 2 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Dado un número entero positivo n, definimos λ(n) como el número de soluciones enteras positivas de la ecuación x² – y² = n.
Diremos que el número n es “olímpico” si λ(n) = 2021.
¿Cuál es el primer entero positivo que es olímpico?
¿Y cuál es el menor entero positivo impar que es olímpico?
Solución: Aquí.
Solución a cuatro números con condiciones
Problema 4 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sean a, b, c y d números reales tales que a + b + c + d = 0 y a² + b² + c² + d² = 12.
Halla el valor mínimo y el valor máximo que puede tomar el producto abcd, y determina para qué valores de a, b, c y d se consiguen ese mínimo y ese máximo.
Solución:
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Cuatro números con condiciones
Problema 4 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sean a, b, c y d números reales tales que a + b + c + d = 0 y a² + b² + c² + d² = 12.
Halla el valor mínimo y el valor máximo que puede tomar el producto abcd, y determina para qué valores de a, b, c y d se consiguen ese mínimo y ese máximo.
Solución: Aquí.
Solución a ángulo en esfera
Problema 1 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Los vértices A, B y C de un triángulo equilátero de lado 1 están en la superficie de una esfera de radio 1 y centro O.
Sea D la proyección ortogonal de A sobre el plano α, determinado por B, C y O.
Llamamos N a uno de los cortes con la esfera de la recta perpendicular a α por O.
Halla la medida del ángulo DNO.
(Nota: la proyección ortogonal de A sobre el plano α es el punto de corte con α de la recta que pasa por A y es perpendicular a α.)
Solución:
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Ángulo en esfera
Problema 1 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Los vértices A, B y C de un triángulo equilátero de lado 1 están en la superficie de una esfera de radio 1 y centro O.
Sea D la proyección ortogonal de A sobre el plano α, determinado por B, C y O.
Llamamos N a uno de los cortes con la esfera de la recta perpendicular a α por O.
Halla la medida del ángulo DNO.
(Nota: la proyección ortogonal de A sobre el plano α es el punto de corte con α de la recta que pasa por A y es perpendicular a α.)
Solución: Aquí.
Solución a piratas del caribe
Problema 5 del nivel C fase autonómica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2019 Se dirige a una edad de: 10-11 años
A una isla llegan los 17 piratas del barco de John Sparrow para repartirse un botín que consiste en un saco con más de 100 monedas de oro.
Cuando está hecho el reparto, sobra una moneda.
Para que no sobre nada, los piratas deciden matar a uno de ellos y volver a hacer el reparto.
Hecho esto, sigue sobrando una moneda.
a) ¿Cuál es el menor número de monedas que contiene el cofre?
b) Una vez que conozcas el número mínimo, en caso de que sigan sobrando monedas al repartir, imagina que siguen matando piratas hasta que el reparto suponga un número exacto de monedas para cada uno de los piratas que sobrevivan. ¿Cuántos piratas deben morir hasta que puedan efectuar el reparto de forma precisa?
Solución:
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Piratas del caribe
Problema 5 del nivel C fase autonómica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2019 Se dirige a una edad de: 10-11 años
A una isla llegan los 17 piratas del barco de John Sparrow para repartirse un botín que consiste en un saco con más de 100 monedas de oro.
Cuando está hecho el reparto, sobra una moneda.
Para que no sobre nada, los piratas deciden matar a uno de ellos y volver a hacer el reparto.
Hecho esto, sigue sobrando una moneda.
a) ¿Cuál es el menor número de monedas que contiene el cofre?
b) Una vez que conozcas el número mínimo, en caso de que sigan sobrando monedas al repartir, imagina que siguen matando piratas hasta que el reparto suponga un número exacto de monedas para cada uno de los piratas que sobrevivan. ¿Cuántos piratas deben morir hasta que puedan efectuar el reparto de forma precisa?
Solución: Aquí.
Solución a números capicúas
Problema 5 del nivel B fase autonómica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
¿Cuántos números capicúas de 5 cifras hay que sean múltiplos de 11?
Solución:
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Números capicúas
Problema 5 del nivel B fase autonómica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
¿Cuántos números capicúas de 5 cifras hay que sean múltiplos de 11?
Solución: Aquí.