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Category Archives: Olimpiadas
Sucesión recursiva
Problema 2 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matemática Española (2020) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Consideramos la sucesión de números enteros f(n), con n mayor o igual que 1, definida por las siguientes condiciones:
f(1) = 1.
Si n es par, f(n) = f(n/2).
Si n es impar y f(n – 1) es impar, entonces f(n) = f(n – 1) – 1.
Si n es impar y f(n – 1) es par, entonces f(n) = f(n – 1) + 1.
a) Calcula f(22020 – 1).
b) Demuestra que la sucesión no es periódica, es decir, que no existen enteros positivos t y n0 que cumplan que si n es mayor que n0, entonces f(n + t) = f(n).
Solución: Aquí.
Solución a la edad de la madre
Problema 1 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Cuando una madre escribe tres veces seguidas su edad obtiene un número de seis cifras que es el producto de seis números: La edad de sus cuatro hijos (que son números diferentes), la edad del padre y su propia edad.
¿Cuál es la suma de las edades de los cuatro hijos?
Solución:
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La edad de la madre
Problema 1 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Cuando una madre escribe tres veces seguidas su edad obtiene un número de seis cifras que es el producto de seis números: La edad de sus cuatro hijos (que son números diferentes), la edad del padre y su propia edad.
¿Cuál es la suma de las edades de los cuatro hijos?
Solución: Aquí.
Solución a prueba de aptitud
Problema 0 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
A una prueba de aptitud se presentan 2019 personas, 995 chicos y 1024 chicas, y exactamente 1234 superan la prueba.
Calcula cuál es el valor de A – B, siendo A el número de chicas que han superado la prueba y B el número de chicos que no la han superado.
Solución: (more…)
Prueba de aptitud
Problema 0 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
A una prueba de aptitud se presentan 2019 personas, 995 chicos y 1024 chicas, y exactamente 1234 superan la prueba.
Calcula cuál es el valor de A – B, siendo A el número de chicas que han superado la prueba y B el número de chicos que no la han superado.
Solución: Aquí.
Solución a juego para dos
Problema 4 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matemática Española (2020) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Ana y Benito juegan a un juego que consta de 2020 rondas.
Inicialmente, en la mesa hay 2020 cartas, numeradas de 1 a 2020, y Ana tiene una carta adicional con el número 0.
En la ronda k-ésima, el jugador que no tiene la carta k – 1 decide si toma la carta k o si se la entrega al otro jugador.
El número de cada carta indica su valor en puntos.
Al terminar el juego, gana quien tiene más puntos.
Determina qué jugador tiene la estrategia ganadora, o si ambos jugadores pueden forzar el empate, y describe la estrategia a seguir.
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Juego para dos
Problema 4 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matemática Española (2020) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Ana y Benito juegan a un juego que consta de 2020 rondas.
Inicialmente, en la mesa hay 2020 cartas, numeradas de 1 a 2020, y Ana tiene una carta adicional con el número 0.
En la ronda k-ésima, el jugador que no tiene la carta k – 1 decide si toma la carta k o si se la entrega al otro jugador.
El número de cada carta indica su valor en puntos.
Al terminar el juego, gana quien tiene más puntos.
Determina qué jugador tiene la estrategia ganadora, o si ambos jugadores pueden forzar el empate, y describe la estrategia a seguir.
Solución: Aquí.
Solución a dos reuniones, dos problemas
Problema 14 del concurso marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
En una reunión hay más hombres que mujeres, más mujeres sentadas que hombres que miran el móvil, y más mujeres que están de pie y miran el móvil que hombres que están de pie y no miran el móvil.
Demuestra que hay menos mujeres que están de pie y no miran el móvil que hombres sentados que no miran el móvil.
En otra reunión hay 201 personas de 5 nacionalidades diferentes.
Se cumple que, en cada grupo de 6 personas, al menos dos tienen la misma edad.
Demuestra que al menos hay 5 personas de la misma edad, el mismo sexo y la misma nacionalidad.
Solución:
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Dos reuniones, dos problemas
Problema 14 del concurso marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
En una reunión hay más hombres que mujeres, más mujeres sentadas que hombres que miran el móvil, y más mujeres que están de pie y miran el móvil que hombres que están de pie y no miran el móvil.
Demuestra que hay menos mujeres que están de pie y no miran el móvil que hombres sentados que no miran el móvil.
En otra reunión hay 201 personas de 5 nacionalidades diferentes.
Se cumple que, en cada grupo de 6 personas, al menos dos tienen la misma edad.
Demuestra que al menos hay 5 personas de la misma edad, el mismo sexo y la misma nacionalidad.
Solcución: Aquí.
Solución a polinomios almerienses
Problema 1 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matemática Española (2020) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Decimos que un polinomio p(x) , con coeficientes reales, es almeriense si tiene la forma p(x) = x³ + ax² + bx + a, y sus tres raíces son números reales positivos en progresión aritmética.
Halla todos los polinomios almerienses tales que p(7/4) = 0.
Solución:
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