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Category Archives: Olimpiadas
Hermanos a pares
Problema 5 del nivel B fase comarcal de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2018 Se dirige a una edad de: 13-15 años
Un grupo de jóvenes está formado por 5 pares de hermanos. Cada uno de los 10 jóvenes tiene una edad diferente comprendida entre 4 y 13 años (incluidas ambas edades).
Las sumas de las edades de las parejas de hermanos son 10, 13, 17, 22 y 23. Si Juan tiene 9 años, ¿qué edad tiene su hermano?
Solución: Aquí.
Solución a distancias en un paralelogramo
Problema 4 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo (2018) Se dirige a una edad de: 14 años
En un paralelogramo ABCD, sea M el punto del lado BC tal que MC = 2BM y sea N el punto del lado CD tal que NC = 2DN.
Si la distancia del punto B a la recta AM es 3, calcular la distancia del punto N a la recta AM.
Solución:
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Distancias en un paralelogramo
Problema 4 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo (2018) Se dirige a una edad de: 14 años
En un paralelogramo ABCD, sea M el punto del lado BC tal que MC = 2BM y sea N el punto del lado CD tal que NC = 2DN.
Si la distancia del punto B a la recta AM es 3, calcular la distancia del punto N a la recta AM.
Solución: Aquí.
Solución a siete números enteros
Problema 4 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo (2018) Se dirige a una edad de: 12 años
Ana debe escribir 7 enteros positivos, no necesariamente distintos, alrededor de una circunferencia de manera que se cumplan las siguientes condiciones:
La suma de los siete números es igual a 36.
Si dos números son vecinos la diferencia entre el mayor y el menor es igual a 2 o 3.
Hallar el máximo valor del mayor de los números que puede escribir Ana.
Solución:
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Siete números enteros
Problema 4 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo (2018) Se dirige a una edad de: 12 años
Ana debe escribir 7 enteros positivos, no necesariamente distintos, alrededor de una circunferencia de manera que se cumplan las siguientes condiciones:
La suma de los siete números es igual a 36.
Si dos números son vecinos la diferencia entre el mayor y el menor es igual a 2 o 3.
Hallar el máximo valor del mayor de los números que puede escribir Ana.
Solución: Aquí.
Solución a productos de un conjunto
Problema 2 de la Olimpiada Matemática Femenina Europea (EGMO 2018) Se dirige a una edad de: 17 años
Considere el conjunto A = {1 + 1/k / k = 1, 2, 3,…}.
a) Demuestre que todo entero x ≥ 2 puede ser escrito como producto de uno o más elementos de A, no necesariamente distintos.
b) Para todo entero x ≥ 2, sea f(x) el menor entero tal que x puede ser escrito como f(x) elementos de A, no necesariamente distintos.
Demuestre que existen infinitos pares (x, y) de enteros, con x ≥ 2, y ≥ 2, tales que f(xy) < f(x) + f(y).
Nota: los pares (x, y), (z, t) son diferentes si x es diferente de z o y es diferente de t.
Solución:
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Productos de un conjunto
Problema 2 de la Olimpiada Matemática Femenina Europea (EGMO 2018) Se dirige a una edad de: 17 años
Considere el conjunto A = {1 + 1/k / k = 1, 2, 3,…}.
a) Demuestre que todo entero x ≥ 2 puede ser escrito como producto de uno o más elementos de A, no necesariamente distintos.
b) Para todo entero x ≥ 2, sea f(x) el menor entero tal que x puede ser escrito como f(x) elementos de A, no necesariamente distintos.
Demuestre que existen infinitos pares (x, y) de enteros, con x ≥ 2, y ≥ 2, tales que f(xy) < f(x) + f(y).
Nota: los pares (x, y), (z, t) son diferentes si x es diferente de z o y es diferente de t.
Solución: Aquí.
Solución a caballeros y mentirosos
Problema 3 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo (2018) Se dirige a una edad de: 12 años
Los 2018 residentes de un pueblo están estrictamente divididos en dos clases: caballeros, que siempre dicen la verdad, y mentirosos, que siempre mienten.
Cierto día todos los residentes se acomodaron alrededor de una circunferencia y cada uno de ellos anunció en voz alta “Mis dos vecinos, el de la izquierda y el de la derecha, son mentirosos”.
A continuación uno de los residentes abandonó el pueblo.
Los 2017 que quedaron se acomodaron nuevamente en una circunferencia (no necesariamente en el mismo orden que antes) y cada uno de ellos anunció en voz alta “Ninguno de mis vecinos, el de la izquierda y el de la derecha, es de mi misma clase”.
Determinar, si es posible, de qué clase es el residente que abandonó el pueblo, caballero o mentiroso.
Solución:
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Caballeros y mentirosos
Problema 3 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo (2018) Se dirige a una edad de: 12 años
Los 2018 residentes de un pueblo están estrictamente divididos en dos clases: caballeros, que siempre dicen la verdad, y mentirosos, que siempre mienten.
Cierto día todos los residentes se acomodaron alrededor de una circunferencia y cada uno de ellos anunció en voz alta “Mis dos vecinos, el de la izquierda y el de la derecha, son mentirosos”.
A continuación uno de los residentes abandonó el pueblo.
Los 2017 que quedaron se acomodaron nuevamente en una circunferencia (no necesariamente en el mismo orden que antes) y cada uno de ellos anunció en voz alta “Ninguno de mis vecinos, el de la izquierda y el de la derecha, es de mi misma clase”.
Determinar, si es posible, de qué clase es el residente que abandonó el pueblo, caballero o mentiroso.
Solución a distancia en decágono
Problema 3 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo (2018) Se dirige a una edad de: 12 años
Sea ABCDEFGHIJ un polígono regular de 10 lados que tiene todos sus vértices en un polígono regular de centro O y radio 5.
Las diagonales AD y BE se cortan en P, y las diagonales AH y BI se cortan en Q.
Calcular la medida del segmento PQ.
Solución:
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