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Sumar 2024
Problema 0 del concurso Marató de problemes 2024 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Tres números de tres cifras suman 2024.
Las nueve cifras que tienen son diferentes.
¿Qué cifra no hemos usado para construir esos tres números?
Solución: Aquí.
Solución a “Las tres compañeras”
Problema 4 del nivel C de la Olimpiada Provincial de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana de 2023 Se dirige a una edad de: 10 -11 años
Clara, Ana y Elisa van de excursión en autobús y están sentadas en tres asientos, una detrás de otra.
Las tres van vestidas de rojo, blanco y azul (no necesariamente en ese orden) y tienen como aficiones bailar, jugar al baloncesto y jugar al voleibol (aunque tampoco necesariamente en ese orden).
A partir de las pistas siguientes, indica en qué posición está sentada cada una, de qué color van vestidas y su afición.
Pistas:
1.- Clara está sentada entre dos compañeras y le ha prestado la ropa a la que va vestida de rojo.
2.- A Elisa nunca le han gustado los deportes que se practican con balón.
3.- Delante de la que baila, está sentada la que juega a voleibol.
4.- La última de la fila de asientos es la que viste de azul.
Solución:
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Las tres compañeras
Problema 4 del nivel C de la Olimpiada Provincial de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana de 2023 Se dirige a una edad de: 10 -11 años
Clara, Ana y Elisa van de excursión en autobús y están sentadas en tres asientos, una detrás de otra.
Las tres van vestidas de rojo, blanco y azul (no necesariamente en ese orden) y tienen como aficiones bailar, jugar al baloncesto y jugar al voleibol (aunque tampoco necesariamente en ese orden).
A partir de las pistas siguientes, indica en qué posición está sentada cada una, de qué color van vestidas y su afición.
Pistas:
1.- Clara está sentada entre dos compañeras y le ha prestado la ropa a la que va vestida de rojo.
2.- A Elisa nunca le han gustado los deportes que se practican con balón.
3.- Delante de la que baila, está sentada la que juega a voleibol.
4.- La última de la fila de asientos es la que viste de azul.
Solución: Aquí.
Solución a “Una ecuación complicada”
Problema 7 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea a > 1 un número real.
Encontrar todas las soluciones de la ecuación: raíz(a – raíz(a + x)) = x en función de a.
Solución:
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Una ecuación complicada
Problema 7 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea a > 1 un número real.
Encontrar todas las soluciones de la ecuación: raíz(a – raíz(a + x)) = x en función de a.
Solución: Aquí.
Solución a “Demasiados cuadrados”
Problema 6 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sean a, b, c tres números enteros, y sea p >= 5 un número primo.
Demostrar que, si an² + bn + c es el cuadrado de un número entero para 2p – 1 valores consecutivos de n, entonces b² – 4ac es un múltiplo de p.
Solución:
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Demasiados cuadrados
Problema 6 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sean a, b, c tres números enteros, y sea p >= 5 un número primo.
Demostrar que, si an² + bn + c es el cuadrado de un número entero para 2p – 1 valores consecutivos de n, entonces b² – 4ac es un múltiplo de p.
Solución: Aquí.
Solución a “La fiesta”
Problema 5 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 años
En una fiesta hay 100 personas. Cada par de personas son o bien amigos o bien enemigos (una y solo una de las dos cosas).
Se cumple la siguiente propiedad: si A y B son enemigos y B y C son enemigos, entonces A y C son amigos.
Demostrar que hay dos personas X e Y que cumplen simultáneamente estas condiciones:
X tiene el mismo número de enemigos que Y .
X e Y son amigos.
Solución:
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La fiesta
Problema 5 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 años
En una fiesta hay 100 personas. Cada par de personas son o bien amigos o bien enemigos (una y solo una de las dos cosas).
Se cumple la siguiente propiedad: si A y B son enemigos y B y C son enemigos, entonces A y C son amigos.
Demostrar que hay dos personas X e Y que cumplen simultáneamente estas condiciones:
X tiene el mismo número de enemigos que Y .
X e Y son amigos.
Solución. Aquí.
Solución a “Cometa sobre trapecio”
Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD tal que AD = DC = CB = 5 y AB = 10.
Sea O el punto de intersección de las diagonales AC y BD.
La recta perpendicular a AC trazada por O corta a la prolongación del lado AD en E, y a la base AB en F.
Calcular el área del cuadrilátero AECF.
Solución:
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