Problema 7 de la Fase Local de la LVI OME 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Ana y Bernardo juegan al siguiente juego.

Se empieza con una bolsa que contienen n >= 1 piedras.

En turnos sucesivos, y empezando por Ana, cada jugador puede hacer los siguientes movimientos:

Si el número de piedras de la bolsa es par, el jugador puede coger una sola piedra o la mitad de las piedras.

Si el número de piedras de la bolsa es impar, tiene que coger una única piedra.

El objetivo del juego es coger la última piedra.

Determinar para qué valores de n tiene Ana una estrategia ganadora.

Solución:
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Problema 5 de la Fase Local de la LVI OME 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABC un triángulo con AB < AC y sea I su incentro. El incírculo es tangente al lado BC en el punto D.

Sea E el único punto que satisface que D es el punto medio del segmento BE.

La línea perpendicular a BC que pasa por E corta a CI en el punto P.

Demostrar que BP es perpendicular a AD.

Solución:
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Problema 4 de la Fase Local de la LVI OME 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Consideramos el siguiente polinomio para los valores reales a, b y c:

p(x) = (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a).

Demuestra que p(x) >= 0 para todo x real si y solamente si a = b = c.

Solución:
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Problema 3 de la Fase Local de la LVI OME 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Encuentra todos los posibles valores x, y z, para los que se cumple:
x + y + z = 1
x²y + y²z + z²x = xy² + yz² + zx²
x³ + y² + z = y³ + z² + x
Solución:
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Problema 2 de la Fase Local de la LVI OME 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sean a₁, a₂, …, a₂₀₂₀ 2020 números reales de manera que la suma de 1009 de ellos cualesquiera es positiva. Demostrar que la suma de los 2020 números también es positiva.

Solución:
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Problema 1 de la Fase Local de la LVI OME 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Dado un número natural n > 1 realizamos la siguiente operación: si n es par, lo dividimos entre 2; si n es impar, le sumamos 5.

Si el número obtenido tras esta operación es 1, paramos el proceso; en caso contrario, volvemos a aplicar la misma operación, y así sucesivamente.

Determinar todos los valores de n para los cuales este proceso es finito, es decir, se llega a 1 en algún momento.
Solución:
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Problema 3 de la Fase Catalana de la OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Encontrar los valores del número entero positivo n para los cuales la ecuación xⁿ + (2 + x)ⁿ + (2 – x)ⁿ = 0 tiene solución entera.

Solución:
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