El blog de Dimates

Problema 6 de la Fase Local de la LVI OME 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea n un entero positivo. En una cuadrícula de tamaño n × n, algunas casillas tienen un espejo de doble cara a lo largo de una de sus diagonales.

En el exterior de cada casilla de los lados izquierdo y derecho de la cuadrícula se encuentra un puntero láser, que apunta horizontalmente hacia la cuadrícula.

Los láseres se numeran de 1 a n en cada lado, en ambos casos de arriba hacia abajo.

Un láser es rojo cuando sale de la cuadrícula por el borde superior y es verde si sale de la cuadrícula por el borde inferior.

Si cada láser sale o bien por el borde inferior o por el superior, demostrar que la suma de los números con los que se numera a los láseres rojos es menor o igual que la suma de los números con los que se numera a los láseres verdes.

Solución:
Continue reading Solución a cuadrícula láser

Problema 6 de la Fase Local de la LVI OME 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea n un entero positivo. En una cuadrícula de tamaño n × n, algunas casillas tienen un espejo de doble cara a lo largo de una de sus diagonales.

En el exterior de cada casilla de los lados izquierdo y derecho de la cuadrícula se encuentra un puntero láser, que apunta horizontalmente hacia la cuadrícula.

Los láseres se numeran de 1 a n en cada lado, en ambos casos de arriba hacia abajo.

Un láser es rojo cuando sale de la cuadrícula por el borde superior y es verde si sale de la cuadrícula por el borde inferior.

Si cada láser sale o bien por el borde inferior o por el superior, demostrar que la suma de los números con los que se numera a los láseres rojos es menor o igual que la suma de los números con los que se numera a los láseres verdes.

Solución: Aquí.

Problema 5 de la Fase Local de la LVI OME 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABC un triángulo con AB < AC y sea I su incentro. El incírculo es tangente al lado BC en el punto D.

Sea E el único punto que satisface que D es el punto medio del segmento BE.

La línea perpendicular a BC que pasa por E corta a CI en el punto P.

Demostrar que BP es perpendicular a AD.

Solución: Aquí.

Problema 4 de la Fase Local de la LVI OME 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Consideramos el siguiente polinomio para los valores reales a, b y c:

p(x) = (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a).

Demuestra que p(x) >= 0 para todo x real si y solamente si a = b = c.

Solución: Aquí.

Problema 3 de la Fase Local de la LVI OME 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Encuentra todos los posibles valores x, y z, para los que se cumple:
x + y + z = 1
x²y + y²z + z²x = xy² + yz² + zx²
x³ + y² + z = y³ + z² + x
Solución: Aquí.

Problema 2 de la Fase Local de la LVI OME 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sean a₁, a₂, …, a₂₀₂₀ 2020 números reales de manera que la suma de 1009 de ellos cualesquiera es positiva. Demostrar que la suma de los 2020 números también es positiva.

Solución: Aquí.