Problema 3 del concurso Marató de problemes 2025
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Sobre una circunferencia se han marcado 20 puntos P1, P2, … P20, siguiendo, en el orden indicado por los puntos, el sentido de las agujas del reloj.

Se ha hecho de manera que:

El arco que une P1 y P2 mide 1 unidad.

El arco que une P2 y P3 mide 2 unidades.

Y así sucesivamente, el arco que une el punto Pn con el punto Pn+1, para n = 1, …, 19 mide n unidades.

La circunferencia tiene el radio adecuado para que finalmente se complete exactamente la circunferencia: se cumple que el segmento que une P20 con P1 mide exactamente 20 unidades.

Determina todas las parejas de puntos marcados sobre la circunferencia con la propiedad de que el segmento que los une es un diámetro de la circunferencia.

Solución:

El primer paso es calcular cuantos segmentos de longitud 1 debe haber en esa circunferencia, que será el equivalente de sumar 1 + 2 + … + 20 = 210, por lo que la circunferencia mide 210 unidades de longitud.

Al unir dos de esos vértices, si la diagonal pasa por el centro de la circunferencia, debe separar dos partes de forma que sume exactamente la mitad, es decir, 105. Una de las dos partes no contendrá al punto P1, así que esa estará formada por q números consecutivos k, k + 1, … k + q – 1, y sumarán 105.

Ahora, tenemos una fórmula que nos permite sumar los q números consecutivos, que en este caso sería (k + k + q – 1)·q/2, y esa suma debe dar 105, luego (2k + q – 1)q = 210.

Otra cosa que debe pasar es que esos dos números tienen que tener diferente paridad, es decir, uno debe ser par y otro impar, y q debe estar entre 1 y 20.

Una vez determinado el valor de q, podemos calcular el valor de k con el otro factor, ya que 2k + q – 1 = 210/q, por lo que 2k = 210/q + 1 – q y por tanto k = 105/q + (1 – q)/2. Y k debería dar un número entre 1 y 20 también.

Sencillamente, probando cuántos divisores tiene 210 que cumplan esas condiciones, encontramos sólo 3 válidos.

Evidentemente, 1, 2 y 3 son demasiado pequeños y dan un resultado demasiado grande para k.

Para q = 5 tenemos k = 19, que es imposible debido a que 19 + 5 – 1 sería mayor que 20.

Para q = 6, tenemos k = 15, que es el primer resultado posible. Así, vemos que la suma del 15 al 20 da 105.

Para q = 7, tenemos k = 12, que también es posible, la suma del 12 al 18 de nuevo da 105.

Para q = 10, tenemos k = 6, que también es posible, ya que al sumar del 6 al 15 da 105.

El siguiente divisor es 15, que ya da un valor de k = 0, que es imposible, y divisores mayores darán valores de k negativos.

Por tanto, estas tres parejas de puntos serán las diagonales que pasarán por el centro: P15 – P1, P12 – P19 y P6 – P16.

He corregido los puntos, que estaban bien en el dibujo, pero mal escritos, gracias a un mensaje de un lector recibido.