Category: Olimpiada Matemática Española

Problema 5 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Disponemos de 2n bombillas colocadas en dos filas (A y B) y numeradas del 1 al n en cada fila.

Algunas (o ninguna) de las bombillas están encendidas y el resto, apagadas; decimos que esto es un “estado”.

Dos estados son distintos si hay una bombilla que está apagada en uno de ellos y encendida en el otro.

Diremos que un estado es “bueno” si hay la misma cantidad de bombillas encendidas en la fila A que en la B.

Demuestra que el número total de estados buenos (EB) dividido por el número total de estados (ET), es: EB/ET = (1·3·5·…·(2n – 1))/(2ⁿ·n!).
Solución:
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Problema 2 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Dado un número entero positivo n, definimos λ(n) como el número de soluciones enteras positivas de la ecuación x² – y² = n.

Diremos que el número n es “olímpico” si λ(n) = 2021.

¿Cuál es el primer entero positivo que es olímpico?

¿Y cuál es el menor entero positivo impar que es olímpico?

Solución:
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Problema 2 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Dado un número entero positivo n, definimos λ(n) como el número de soluciones enteras positivas de la ecuación x² – y² = n.

Diremos que el número n es “olímpico” si λ(n) = 2021.

¿Cuál es el primer entero positivo que es olímpico?

¿Y cuál es el menor entero positivo impar que es olímpico?

Solución: Aquí.

Problema 4 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sean a, b, c y d números reales tales que a + b + c + d = 0 y a² + b² + c² + d² = 12.

Halla el valor mínimo y el valor máximo que puede tomar el producto abcd, y determina para qué valores de a, b, c y d se consiguen ese mínimo y ese máximo.

Solución:
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Problema 1 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Los vértices A, B y C de un triángulo equilátero de lado 1 están en la superficie de una esfera de radio 1 y centro O.

Sea D la proyección ortogonal de A sobre el plano α, determinado por B, C y O.

Llamamos N a uno de los cortes con la esfera de la recta perpendicular a α por O.

Halla la medida del ángulo DNO.

(Nota: la proyección ortogonal de A sobre el plano α es el punto de corte con α de la recta que pasa por A y es perpendicular a α.)

Solución:
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Problema 8 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Determinar todas las funciones f tales que f(xf(y) + y) = f(xy) + f(y) para todos los números reales x, y.

Solución:
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