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Category Archives: Olimpiadas
Solución a circunferencias concéntricas
Problema 5 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Se considera un dibujo con algunas circunferencias concéntricas y algunas rectas paralelas, y miramos el número de intersecciones entre rectas y circunferencias, el plano queda descompuesto en algunas regiones según las posiciones relativas que tengan.
La imagen muestra un par de situaciones con tres rectas y tres circunferencias: En la primera, el plano queda dividido en 20 regiones y en la segunda en 16.
¿Cuál es el máximo número de regiones en que queda descompuesto el plano por c circunferencias concéntricas y r rectas paralelas?
Solución:
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Circunferencias concéntricas
Problema 5 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Se considera un dibujo con algunas circunferencias concéntricas y algunas rectas paralelas, y miramos el número de intersecciones entre rectas y circunferencias, el plano queda descompuesto en algunas regiones según las posiciones relativas que tengan.
La imagen muestra un par de situaciones con tres rectas y tres circunferencias: En la primera, el plano queda dividido en 20 regiones y en la segunda en 16.
¿Cuál es el máximo número de regiones en que queda descompuesto el plano por c circunferencias concéntricas y r rectas paralelas?
Solución: Aquí.
Solución a producto de factoriales
Problema 4 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Antes de probar con este problema, deberíamos saber que el factorial de un número natural n, que se escribe n!, es n! = 1·2·3·…·(n – 1)·n.
Consideremos el número P, que se consigue de la siguiente manera: P = 1!·2!·3!·…·98!·99!·100! (es decir, como el producto del factorial de los 100 primeros números).
¿Cuál es el valor del número natural s para el cual Q = P/(s!) es un cuadrado perfecto de un número natural?
Solución:
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Producto de factoriales
Problema 4 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Antes de probar con este problema, deberíamos saber que el factorial de un número natural n, que se escribe n!, es n! = 1·2·3·…·(n – 1)·n.
Consideremos el número P, que se consigue de la siguiente manera: P = 1!·2!·3!·…·98!·99!·100! (es decir, como el producto del factorial de los 100 primeros números).
¿Cuál es el valor del número natural s para el cual Q = P/(s!) es un cuadrado perfecto de un número natural?
Solución: Aquí.
Solución a área en un cuadrado
Problema 3 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Los puntos E, F, G y H son puntos del lado del cuadrado ABCD que cumplen AE = BF = CG = DH y, además, AE = n·EB, donde n es un valor real positivo.
¿Qué fracción del área del cuadrado ABCD representa el área del triángulo sombreado?
Solución:
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Área en un cuadrado
Problema 3 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Los puntos E, F, G y H son puntos del lado del cuadrado ABCD que cumplen AE = BF = CG = DH y, además, AE = n·EB, donde n es un valor real positivo.
¿Qué fracción del área del cuadrado ABCD representa el área del triángulo sombreado?
solución: Aquí.
Solución a repartiendo postre
Problema 2 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
El abuelo, la abuela y Pau comen juntos un domingo.
Para postre, el abuelo ha comprado tres brazos de gitano, uno de nata, uno de trufa y uno de crema.
Pau dice: “Abuelo, para repartirlos mejor, podrías partir cada uno en tres trozos exactamente iguales”. Y así lo hace el abuelo.
Entonces, Pau pregunta: “¿De cuántas formas nos los podemos repartir si cada uno debe escoger tres trozos?
El abuelo no supo responderle a la pregunta en ese momento.
¿Qué respuesta darías tú?
Solución:
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Repartiendo el postre
Problema 2 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
El abuelo, la abuela y Pau comen juntos un domingo.
Para postre, el abuelo ha comprado tres brazos de gitano, uno de nata, uno de trufa y uno de crema.
Pau dice: “Abuelo, para repartirlos mejor, podrías partir cada uno en tres trozos exactamente iguales”. Y así lo hace el abuelo.
Entonces, Pau pregunta: “¿De cuántas formas nos los podemos repartir si cada uno debe escoger tres trozos?
El abuelo no supo responderle a la pregunta en ese momento.
¿Qué respuesta darías tú?
Solución: Aquí.
Solución a el juego de las pilas de monedas
Problema 5 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo 2023 Se dirige a una edad de: 13-14 años
Sobre la mesa hay 50 pilas de monedas que tienen 1, 2, 3, …, 50 monedas respectivamente.
Ana y Beto juegan al siguiente juego por turnos.
Primero, Ana elige una de las 50 pilas de la mesa, y Beto decide si esa pila es para Ana o para él.
Después, Beto elige una de las 49 pilas restantes de la mesa, y Ana decide si esa pila es para ella o para Beto.
Ellos continúan jugando alternadamente de esta manera hasta que uno de los jugadores tenga 25 pilas.
Cuando eso ocurre, el otro jugador toma todas las pilas restantes de la mesa y el que tiene más monedas, gana.
Determinar cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora.
Solución:
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El juego de las pilas de monedas
Problema 5 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo 2023 Se dirige a una edad de: 13-14 años
Sobre la mesa hay 50 pilas de monedas que tienen 1, 2, 3, …, 50 monedas respectivamente.
Ana y Beto juegan al siguiente juego por turnos.
Primero, Ana elige una de las 50 pilas de la mesa, y Beto decide si esa pila es para Ana o para él.
Después, Beto elige una de las 49 pilas restantes de la mesa, y Ana decide si esa pila es para ella o para Beto.
Ellos continúan jugando alternadamente de esta manera hasta que uno de los jugadores tenga 25 pilas.
Cuando eso ocurre, el otro jugador toma todas las pilas restantes de la mesa y el que tiene más monedas, gana.
Determinar cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora.
Solución: Aquí.