Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sean a1, a2, a3, a4, a5 y a6 números reales diferentes, de manera que ninguno de ellos es igual a 0.
Supongamos que (a1² + a2² + a3² + a4² + a5²)(a2² + a3² + a4² + a5² + a6²) = (a1a2 + a2a3 +a3a4 + a4a5 + a5a6)².
Demuestra que los números a1, a2, a3, a4, a5 y a6 están en progresión geométrica.
Solución: Aquí.
Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea ABC un triángulo isósceles con el ángulo BAC de 100º.
La bisectriz del ángulo CBA corta al lado AC en el punto D.
Demostrar que BD + DA = BC.
Solución:
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Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea ABC un triángulo isósceles con el ángulo BAC de 100º.
La bisectriz del ángulo CBA corta al lado AC en el punto D.
Demostrar que BD + DA = BC.
Solución: Aquí.
Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Un número n de siete cifras es bonito si se puede expresar como la suma de dos números de siete cifras s y t, tales que todas las cifras de s son impares y todas las cifras de t son pares.
Determinar cuáles de los siguientes números son bonitos:
6204773, 6372538, 7343053, 8993267, 9652393.
Solución:
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Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Un número n de siete cifras es bonito si se puede expresar como la suma de dos números de siete cifras s y t, tales que todas las cifras de s son impares y todas las cifras de t son pares.
Determinar cuáles de los siguientes números son bonitos:
6204773, 6372538, 7343053, 8993267, 9652393.
Solución: Aquí.
Problema 5 del concurso Olitele 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En mi calculadora, una y sólo una de las teclas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, o 9 funciona mal: cuando la pulsas, aparece en pantalla un dígito entre 1 y 9 que no es el que corresponde.
En esta calculadora, cuando quiero escribir el número 987654321, aparece en la pantalla un número divisible por 11 y que deja resto 3 al dividirlo por 9.
¿Cuál es la tecla que funciona mal, y qué cifra hace aparecer?
Solución:
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Problema 5 del concurso Olitele 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En mi calculadora, una y sólo una de las teclas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, o 9 funciona mal: cuando la pulsas, aparece en pantalla un dígito entre 1 y 9 que no es el que corresponde.
En esta calculadora, cuando quiero escribir el número 987654321, aparece en la pantalla un número divisible por 11 y que deja resto 3 al dividirlo por 9.
¿Cuál es la tecla que funciona mal, y qué cifra hace aparecer?
Solución: Aquí.
Problema 4 del concurso Olitele 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Una antena de telefonía se fija verticalmente sobre una base rectangular horizontal, de vértices ABCD, con cables que van desde el extremo superior de la antena a los cuatro vértices de la base.
Conocemos la longitud de tres cables, que son:
El cable que va del vértice A a la antena, que tiene a metros.
El cable que va del vértice B a la antena, que tiene b metros.
El cable que va del vértice C a la antena, que tiene c metros.
Estos tres datos permiten determinar la longitud del cuarto cable, que se une al vértice D. Calcula, en función de a, b y c, la longitud del cable que falta.
Solución:
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Problema 4 del concurso Olitele 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Una antena de telefonía se fija verticalmente sobre una base rectangular horizontal, de vértices ABCD, con cables que van desde el extremo superior de la antena a los cuatro vértices de la base.
Conocemos la longitud de tres cables, que son:
El cable que va del vértice A a la antena, que tiene a metros.
El cable que va del vértice B a la antena, que tiene b metros.
El cable que va del vértice C a la antena, que tiene c metros.
Estos tres datos permiten determinar la longitud del cuarto cable, que se une al vértice D. Calcula, en función de a, b y c, la longitud del cable que falta.
Solución: Aquí.
Problema 3 del concurso Olitele 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Para elegir un elemento del conjunto A = {01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, 12, 13, 14, 15} ejecutamos el siguiente procedimiento:
En primer lugar, ponemos en una bolsa z bolas marcadas con un 0 y u bolas marcadas con un 1, y elegimos una bola, que indicará la primera cifra del elemento que elegiremos finalmente.
En segundo lugar, si ha salido un 0, pondremos en una segunda bolsa nueve bolas numeradas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9 (una de cada), mientras que si ha salido un 1, sólo pondremos en la segunda bolsa seis bolas numeradas 0, 1, 2, 3, 4, y 5 (una de cada). A continuación extraeremos una bola de esta segunda bolsa, que será la segunda cifra de el elemento que escogeremos.
Calcula cuáles han de ser los valores mínimos que pueden tener z y u para que los 15 elementos de A tengan todos la misma probabilidad de ser escogidos.
Solución:
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