Solución a un trapecio y dos cuadrados

Problema 8 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En un cuadrilátero como el de la figura, con dos lados paralelos, encajamos dos cuadrados diferentes, con un lado en cada uno de los lados paralelos. Un vértice de cada cuadrado coincide con uno de dos de los vértices opuestos del trapecio, y otro de los vértices de ambos cuadrados coinciden entre sí.

Conocemos la longitud de la diagonal del trapecio AC (que coincide con los lados de los cuadrados), y el área del trapecio. Se pide calcular la suma del área de ambos cuadrados.

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Un trapecio y dos cuadrados

Problema 8 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En un cuadrilátero como el de la figura, con dos lados paralelos, encajamos dos cuadrados diferentes, con un lado en cada uno de los lados paralelos. Un vértice de cada cuadrado coincide con uno de dos de los vértices opuestos del trapecio, y otro de los vértices de ambos cuadrados coinciden entre sí.

Conocemos la longitud de la diagonal del trapecio AC (que coincide con los lados de los cuadrados), y el área del trapecio. Se pide calcular la suma del área de ambos cuadrados.

Solución a el robot itinerante

Problema 6 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Un robot circula por un plano coordenado de la forma que marca el dibujo.

Así, tras llegar al punto (7, 0), avanzará una unidad en horizontal hasta el (8, 0), subirá en vertical 8 unidades hasta el (8, 8) y retrocederá en horizontal ocho unidades hasta el (0, 8), y así sucesivamente.

Si cada unidad del plano mide un centímetro, ¿en qué coordenadas se encontrará cuando haya recorrido exactamente 2017 centímetros?

Solución:
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El robot itinerante

Problema 6 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Un robot circula por un plano coordenado de la forma que marca el dibujo.

Así, tras llegar al punto (7, 0), avanzará una unidad en horizontal hasta el (8, 0), subirá en vertical 8 unidades hasta el (8, 8) y retrocederá en horizontal ocho unidades hasta el (0, 8), y así sucesivamente.

Si cada unidad del plano mide un centímetro, ¿en qué coordenadas se encontrará cuando haya recorrido exactamente 2017 centímetros?

Solución: Aquí

Solución a sucesión recursiva

Problema 5 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Una sucesión an se define de la siguiente manera: a1 = 4, a2 = 6 y an+1 = an/an-1 para valores de n mayores o iguales que 1.
Encuentra el valor de la suma de los términos a2016 + a2017.

Solución

Este problema es realmente sencillo. Lo primero que debemos hacer es buscar un patrón en la sucesión recursiva que nos permita calcular valores avanzados, porque tratar de calcular una fórmula general para el cociente de dos consecutivos no ofrece buenas soluciones.

La sucesión, en sus primeros términos sería 4, 6, 6/4, 1/4, 1/6, 4/6, 4, 6, …

Tal y como leemos la fórmula, vemos que cada término sólo depende de los dos anteriores, por lo que en cuanto se repiten dos, se inicia un ciclo. Es decir, que la sucesión en realidad es cíclica y se repite exactamente igual cada 6 términos. Así, los términos de posición múltiplo de seis valdrán todos lo mismo, es decir, 4/6 = 2/3, mientras que el siguiente valdrá 4, y así sucesivamente.

Lo único que tenemos que hacer es averiguar qué parte del ciclo ocupa el término de posición 2016 y el 2017. Puesto que 2016 es divisible entre 6, está claro que serán el 2/3 y el 4, así que su suma será 14/3.

Solución a sumar 111

Problema 2 del viernes de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española 2018
Se dirige a una edad de: 16-17 años

¿De cuántas maneras se puede escribir 111 como suma de tres números enteros en progresión geométrica?

En la imagen vemos tres números enteros, en este caso positivos, que forman una progresión geométrica (con representación geométrica, además). Recordad que una progresión geométrica es aquella en la que, a partir del segundo término, cada uno de ellos es igual al anterior por una cantidad constante.

Solución:
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Sumar 111

Problema 2 del viernes de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española 2018
Se dirige a una edad de: 16-17 años

¿De cuántas maneras se puede escribir 111 como suma de tres números enteros en progresión geométrica?

En la imagen vemos tres números enteros, en este caso positivos, que forman una progresión geométrica (con representación geométrica, además). Recordad que una progresión geométrica es aquella en la que, a partir del segundo término, cada uno de ellos es igual al anterior por una cantidad constante.

Solución: Aquí.

Solución a un ángulo en un pentágono

Problema 4 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En un pentágono inscrito en una circunferencia ABCDE trazamos las diagonales AD y BE, que se cortan en F.

Suponiendo conocidos los ángulos internos del pentágono en A (BAE), en E (AED) y en C (DCB), calcular el ángulo entre las diagonales AFB.

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Un ángulo en un pentágono

Problema 4 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En un pentágono inscrito en una circunferencia ABCDE trazamos las diagonales AD y BE, que se cortan en F.

Suponiendo conocidos los ángulos internos del pentágono en A (BAE), en E (AED) y en C (DCB), calcular el ángulo entre las diagonales AFB.

Solución: Aquí