Category: Olimpiadas

Malas fichas

Problema 3 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Tenemos 2021 colores y 2021 fichas de cada color.

Colocamos las 2021² fichas en fila.

Se dice que una ficha F es “mala” si a cada lado queda un número impar de las 2020·2021 fichas que no comparten color con F.

(a) Determina cuál es el mínimo número posible de fichas malas.

(b) Si se impone la condición de que cada ficha ha de compartir color con al menos una ficha adyacente. ¿Cuál es el mínimo número posible de fichas malas?

Solución: Aquí.

Solución a dos filas de bombillas

Problema 5 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Disponemos de 2n bombillas colocadas en dos filas (A y B) y numeradas del 1 al n en cada fila.

Algunas (o ninguna) de las bombillas están encendidas y el resto, apagadas; decimos que esto es un “estado”.

Dos estados son distintos si hay una bombilla que está apagada en uno de ellos y encendida en el otro.

Diremos que un estado es “bueno” si hay la misma cantidad de bombillas encendidas en la fila A que en la B.

Demuestra que el número total de estados buenos (EB) dividido por el número total de estados (ET), es: EB/ET = (1·3·5·…·(2n – 1))/(2n·n!).
Solución:
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Dos filas de bombillas

Problema 5 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Disponemos de 2n bombillas colocadas en dos filas (A y B) y numeradas del 1 al n en cada fila.

Algunas (o ninguna) de las bombillas están encendidas y el resto, apagadas; decimos que esto es un “estado”.

Dos estados son distintos si hay una bombilla que está apagada en uno de ellos y encendida en el otro.

Diremos que un estado es “bueno” si hay la misma cantidad de bombillas encendidas en la fila A que en la B.

Demuestra que el número total de estados buenos (EB) dividido por el número total de estados (ET), es: EB/ET = (1·3·5·…·(2n – 1))/(2n·n!).
Solución: Aquí.

Solución a enteros olímpicos

Problema 2 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Dado un número entero positivo n, definimos λ(n) como el número de soluciones enteras positivas de la ecuación x² – y² = n.

Diremos que el número n es “olímpico” si λ(n) = 2021.

¿Cuál es el primer entero positivo que es olímpico?

¿Y cuál es el menor entero positivo impar que es olímpico?

Solución:
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Enteros olímpicos

Problema 2 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Dado un número entero positivo n, definimos λ(n) como el número de soluciones enteras positivas de la ecuación x² – y² = n.

Diremos que el número n es “olímpico” si λ(n) = 2021.

¿Cuál es el primer entero positivo que es olímpico?

¿Y cuál es el menor entero positivo impar que es olímpico?

Solución: Aquí.

Solución a cuatro números con condiciones

Problema 4 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sean a, b, c y d números reales tales que a + b + c + d = 0 y a² + b² + c² + d² = 12.

Halla el valor mínimo y el valor máximo que puede tomar el producto abcd, y determina para qué valores de a, b, c y d se consiguen ese mínimo y ese máximo.

Solución:
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Cuatro números con condiciones

Problema 4 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sean a, b, c y d números reales tales que a + b + c + d = 0 y a² + b² + c² + d² = 12.

Halla el valor mínimo y el valor máximo que puede tomar el producto abcd, y determina para qué valores de a, b, c y d se consiguen ese mínimo y ese máximo.

Solución: Aquí.

Solución a ángulo en esfera

Problema 1 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Los vértices A, B y C de un triángulo equilátero de lado 1 están en la superficie de una esfera de radio 1 y centro O.

Sea D la proyección ortogonal de A sobre el plano α, determinado por B, C y O.

Llamamos N a uno de los cortes con la esfera de la recta perpendicular a α por O.

Halla la medida del ángulo DNO.

(Nota: la proyección ortogonal de A sobre el plano α es el punto de corte con α de la recta que pasa por A y es perpendicular a α.)

Solución:
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Ángulo en esfera

Problema 1 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Los vértices A, B y C de un triángulo equilátero de lado 1 están en la superficie de una esfera de radio 1 y centro O.

Sea D la proyección ortogonal de A sobre el plano α, determinado por B, C y O.

Llamamos N a uno de los cortes con la esfera de la recta perpendicular a α por O.

Halla la medida del ángulo DNO.

(Nota: la proyección ortogonal de A sobre el plano α es el punto de corte con α de la recta que pasa por A y es perpendicular a α.)

Solución: Aquí.

Solución a piratas del caribe

Problema 5 del nivel C fase autonómica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2019
Se dirige a una edad de: 10-11 años

A una isla llegan los 17 piratas del barco de John Sparrow para repartirse un botín que consiste en un saco con más de 100 monedas de oro.

Cuando está hecho el reparto, sobra una moneda.

Para que no sobre nada, los piratas deciden matar a uno de ellos y volver a hacer el reparto.

Hecho esto, sigue sobrando una moneda.

a) ¿Cuál es el menor número de monedas que contiene el cofre?

b) Una vez que conozcas el número mínimo, en caso de que sigan sobrando monedas al repartir, imagina que siguen matando piratas hasta que el reparto suponga un número exacto de monedas para cada uno de los piratas que sobrevivan. ¿Cuántos piratas deben morir hasta que puedan efectuar el reparto de forma precisa?

Solución:
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