Problema 4 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sean a, b, c y d números reales tales que a + b + c + d = 0 y a² + b² + c² + d² = 12.
Halla el valor mínimo y el valor máximo que puede tomar el producto abcd, y determina para qué valores de a, b, c y d se consiguen ese mínimo y ese máximo.
Solución: Aquí.
Problema 1 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Los vértices A, B y C de un triángulo equilátero de lado 1 están en la superficie de una esfera de radio 1 y centro O.
Sea D la proyección ortogonal de A sobre el plano α, determinado por B, C y O.
Llamamos N a uno de los cortes con la esfera de la recta perpendicular a α por O.
Halla la medida del ángulo DNO.
(Nota: la proyección ortogonal de A sobre el plano α es el punto de corte con α de la recta que pasa por A y es perpendicular a α.)
Solución:
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Problema 1 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Los vértices A, B y C de un triángulo equilátero de lado 1 están en la superficie de una esfera de radio 1 y centro O.
Sea D la proyección ortogonal de A sobre el plano α, determinado por B, C y O.
Llamamos N a uno de los cortes con la esfera de la recta perpendicular a α por O.
Halla la medida del ángulo DNO.
(Nota: la proyección ortogonal de A sobre el plano α es el punto de corte con α de la recta que pasa por A y es perpendicular a α.)
Solución: Aquí.
Problema 5 del nivel C fase autonómica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2019 Se dirige a una edad de: 10-11 años
A una isla llegan los 17 piratas del barco de John Sparrow para repartirse un botín que consiste en un saco con más de 100 monedas de oro.
Cuando está hecho el reparto, sobra una moneda.
Para que no sobre nada, los piratas deciden matar a uno de ellos y volver a hacer el reparto.
Hecho esto, sigue sobrando una moneda.
a) ¿Cuál es el menor número de monedas que contiene el cofre?
b) Una vez que conozcas el número mínimo, en caso de que sigan sobrando monedas al repartir, imagina que siguen matando piratas hasta que el reparto suponga un número exacto de monedas para cada uno de los piratas que sobrevivan. ¿Cuántos piratas deben morir hasta que puedan efectuar el reparto de forma precisa?
Problema 5 del nivel C fase autonómica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2019 Se dirige a una edad de: 10-11 años
A una isla llegan los 17 piratas del barco de John Sparrow para repartirse un botín que consiste en un saco con más de 100 monedas de oro.
Cuando está hecho el reparto, sobra una moneda.
Para que no sobre nada, los piratas deciden matar a uno de ellos y volver a hacer el reparto.
Hecho esto, sigue sobrando una moneda.
a) ¿Cuál es el menor número de monedas que contiene el cofre?
b) Una vez que conozcas el número mínimo, en caso de que sigan sobrando monedas al repartir, imagina que siguen matando piratas hasta que el reparto suponga un número exacto de monedas para cada uno de los piratas que sobrevivan. ¿Cuántos piratas deben morir hasta que puedan efectuar el reparto de forma precisa?
Solución: Aquí.
Problema 5 del nivel B fase autonómica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
¿Cuántos números capicúas de 5 cifras hay que sean múltiplos de 11?
Solución:
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Problema 5 del nivel B fase autonómica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
¿Cuántos números capicúas de 5 cifras hay que sean múltiplos de 11?
Solución: Aquí.
Problema 4 del nivel C fase autonómica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2019 Se dirige a una edad de: 10-11 años
En un torneo de baloncesto compiten 16 equipos. En cada ronda los equipos se dividen en grupos de cuatro.
En cada grupo, cada equipo juega una vez contra cada uno de los otros. De cada grupo, los dos mejores equipos se clasifican para la siguiente ronda y los dos últimos son eliminados.
La segunda ronda se forma con los ocho equipos clasificados dos grupos de 4 en los que se repite el proceso.
De aquí salen los 4 equipos que constituyen la tercera ronda del torneo.
Después de la tercera ronda quedan clasificados dos equipos, que compiten entre ellos para determinar el ganador del torneo.
¿Cuántos partidos se jugarán a lo largo del torneo?
Solución:
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Problema 4 del nivel C fase autonómica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2019 Se dirige a una edad de: 10-11 años
En un torneo de baloncesto compiten 16 equipos. En cada ronda los equipos se dividen en grupos de cuatro.
En cada grupo, cada equipo juega una vez contra cada uno de los otros. De cada grupo, los dos mejores equipos se clasifican para la siguiente ronda y los dos últimos son eliminados.
La segunda ronda se forma con los ocho equipos clasificados dos grupos de 4 en los que se repite el proceso.
De aquí salen los 4 equipos que constituyen la tercera ronda del torneo.
Después de la tercera ronda quedan clasificados dos equipos, que compiten entre ellos para determinar el ganador del torneo.
¿Cuántos partidos se jugarán a lo largo del torneo?
Solución: Aquí.
Problema 4 del nivel A fase autonómica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2019 Se dirige a una edad de: 12-13 años
Coloca los números del 1 al 8 en los círculos de la imagen de forma que la suma de todos los números que están directamente conectados por una línea con uno determinado, sin contar el propio número, suma lo que indica la siguiente relación.
Los que están conectados con el 1 suman 10.
Los que están conectados con el 2 suman 20.
Los que están conectados con el 3 suman 15.
Los que están conectados con el 4 suman 13.
Los que están conectados con el 5 suman 21.
Los que están conectados con el 6 suman 3.
Los que están conectados con el 7 suman 8.
Los que están conectados con el 8 suman 14.
