Problema 3 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Tenemos siete listones, cuyas longitudes, todas diferentes, en centímetros, son 3, 4, 7, 8, 24, 26 y 28.
¿Cuántos triángulos diferentes podemos construir uniendo tres de estos listones?
Se supone que dos triángulos son iguales si sus tres lados son iguales, aunque sean simétricos en lugar de iguales, es decir, se les puede dar la vuelta y poner los listones al revés, y siguen siendo iguales.
Solución: Aquí.
Problema 2 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
A partir de un cuadrado, encontramos los puntos medios de los cuadrados y unimos cada vértice con uno de los puntos medios.
A partir de esas líneas, dibujamos el octógono amarillo que vemos en la figura.
Calcula la proporción del área total del cuadrado que ocupa ese octógono.
Solución: Continue reading Solución a octógono irregular
Problema 2 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matemática Española (2020) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Consideramos la sucesión de números enteros f(n), con n mayor o igual que 1, definida por las siguientes condiciones:
f(1) = 1.
Si n es par, f(n) = f(n/2).
Si n es impar y f(n – 1) es impar, entonces f(n) = f(n – 1) – 1.
Si n es impar y f(n – 1) es par, entonces f(n) = f(n – 1) + 1.
a) Calcula f(22020 – 1).
b) Demuestra que la sucesión no es periódica, es decir, que no existen enteros positivos t y n0 que cumplan que si n es mayor que n0, entonces f(n + t) = f(n).
Solución:
Continue reading Solución a sucesión recursiva
Problema 2 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matemática Española (2020) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Consideramos la sucesión de números enteros f(n), con n mayor o igual que 1, definida por las siguientes condiciones:
f(1) = 1.
Si n es par, f(n) = f(n/2).
Si n es impar y f(n – 1) es impar, entonces f(n) = f(n – 1) – 1.
Si n es impar y f(n – 1) es par, entonces f(n) = f(n – 1) + 1.
a) Calcula f(22020 – 1).
b) Demuestra que la sucesión no es periódica, es decir, que no existen enteros positivos t y n0 que cumplan que si n es mayor que n0, entonces f(n + t) = f(n).
Solución: Aquí.
Problema 1 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Cuando una madre escribe tres veces seguidas su edad obtiene un número de seis cifras que es el producto de seis números: La edad de sus cuatro hijos (que son números diferentes), la edad del padre y su propia edad.
¿Cuál es la suma de las edades de los cuatro hijos?
Solución:
Continue reading Solución a la edad de la madre
Problema 1 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Cuando una madre escribe tres veces seguidas su edad obtiene un número de seis cifras que es el producto de seis números: La edad de sus cuatro hijos (que son números diferentes), la edad del padre y su propia edad.
¿Cuál es la suma de las edades de los cuatro hijos?
Solución: Aquí.
Problema 0 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
A una prueba de aptitud se presentan 2019 personas, 995 chicos y 1024 chicas, y exactamente 1234 superan la prueba.
Calcula cuál es el valor de A – B, siendo A el número de chicas que han superado la prueba y B el número de chicos que no la han superado.
Solución: Continue reading Solución a prueba de aptitud
Problema 0 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
A una prueba de aptitud se presentan 2019 personas, 995 chicos y 1024 chicas, y exactamente 1234 superan la prueba.
Calcula cuál es el valor de A – B, siendo A el número de chicas que han superado la prueba y B el número de chicos que no la han superado.
Solución: Aquí.
Problema 4 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matemática Española (2020) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Ana y Benito juegan a un juego que consta de 2020 rondas.
Inicialmente, en la mesa hay 2020 cartas, numeradas de 1 a 2020, y Ana tiene una carta adicional con el número 0.
En la ronda k-ésima, el jugador que no tiene la carta k – 1 decide si toma la carta k o si se la entrega al otro jugador.
El número de cada carta indica su valor en puntos.
Al terminar el juego, gana quien tiene más puntos.
Determina qué jugador tiene la estrategia ganadora, o si ambos jugadores pueden forzar el empate, y describe la estrategia a seguir.
Solución: Continue reading Solución a juego para dos
Problema 4 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matemática Española (2020) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Ana y Benito juegan a un juego que consta de 2020 rondas.
Inicialmente, en la mesa hay 2020 cartas, numeradas de 1 a 2020, y Ana tiene una carta adicional con el número 0.
En la ronda k-ésima, el jugador que no tiene la carta k – 1 decide si toma la carta k o si se la entrega al otro jugador.
El número de cada carta indica su valor en puntos.
Al terminar el juego, gana quien tiene más puntos.
Determina qué jugador tiene la estrategia ganadora, o si ambos jugadores pueden forzar el empate, y describe la estrategia a seguir.
Solución: Aquí.