Problema 6 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Fijamos un número natural k mayor o igual que 1. Encuentra todos los polinomios P(x) que cumplan P(x^k) – P(kx) = x^kP(x).

Solución: Aquí.

Problema 5 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

¿Existen n y m naturales diferentes de cero de forma que el resultado de la expresión n² + 2018nm + 2019m + n – 2019m² es un número primo?

Solución: Aquí.

Problema 4 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea p ≥ 3 un número primo, y consideremos el triángulo rectángulo de cateto mayor p² – 1 y cateto menor 2p.

Inscribimos en el triángulo un semicírculo cuyo diámetro se apoya en el cateto mayor y es tangente a la hipotenusa y al cateto menor del triángulo.

Encuentra los valores de p para los cuales el radio del semicírculo es un número entero.

Solución: Aquí.

Problema 3 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

El trapecio isósceles ABCD tiene lados paralelos AB y CD. Sabemos que AB = 6, AD = 5 y el ángulo DAB = 60º. Se lanza un rayo de luz desde A que rebota en CB en el punto E e interseca en AD en el punto F. Si AF = 3, calcula el área del triángulo AFE.
Solución: Aquí.

Problema 2 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Demuestra que para todo n ≥ 2 podemos encontrar n números reales x₁, x₂, …, x_n ≠ 1 de manera que los productos x₁·x₂·…·x_n y (1/(1 – x₁))·(1/(1 – x₂))·…·(1/(1 – x_n)) son iguales.

Solución: Aquí.