Problema 10 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En el interior de una circunferencia dibujamos dos semicircunferencias tangentes entre sí de forma que los diámetros son paralelos y tienen los extremos en puntos de la circunferencia.

Demuestra que la suma de las áreas de las dos semicircunferencias es exactamente la mitad del área del círculo de la circunferencia inicial.

Solución:
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Problema 9 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sabemos que x e y son dos números positivos, de forma que x es mayor que y y cumplen las dos relaciones siguientes para dos números racionales concretos A y B:

(x + y)(x² – y²) = A

(x – y)(x² + y²) = B

Calcula el valor de x/y.

Solución:
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Problema 8 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En un cuadrilátero como el de la figura, con dos lados paralelos, encajamos dos cuadrados diferentes, con un lado en cada uno de los lados paralelos. Un vértice de cada cuadrado coincide con uno de dos de los vértices opuestos del trapecio, y otro de los vértices de ambos cuadrados coinciden entre sí.

Conocemos la longitud de la diagonal del trapecio AC (que coincide con los lados de los cuadrados), y el área del trapecio. Se pide calcular la suma del área de ambos cuadrados.

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Problema 6 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Un robot circula por un plano coordenado de la forma que marca el dibujo.

Así, tras llegar al punto (7, 0), avanzará una unidad en horizontal hasta el (8, 0), subirá en vertical 8 unidades hasta el (8, 8) y retrocederá en horizontal ocho unidades hasta el (0, 8), y así sucesivamente.

Si cada unidad del plano mide un centímetro, ¿en qué coordenadas se encontrará cuando haya recorrido exactamente 2017 centímetros?

Solución:
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Problema 5 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Una sucesión a_n se define de la siguiente manera: a₁ = 4, a₂ = 6 y a_n+1 = a_n/a_n-1 para valores de n mayores o iguales que 1.
Encuentra el valor de la suma de los términos a₂₀₁₆ + a₂₀₁₇.

Solución

Este problema es realmente sencillo. Lo primero que debemos hacer es buscar un patrón en la sucesión recursiva que nos permita calcular valores avanzados, porque tratar de calcular una fórmula general para el cociente de dos consecutivos no ofrece buenas soluciones.

La sucesión, en sus primeros términos sería 4, 6, 6/4, 1/4, 1/6, 4/6, 4, 6, …

Tal y como leemos la fórmula, vemos que cada término sólo depende de los dos anteriores, por lo que en cuanto se repiten dos, se inicia un ciclo. Es decir, que la sucesión en realidad es cíclica y se repite exactamente igual cada 6 términos. Así, los términos de posición múltiplo de seis valdrán todos lo mismo, es decir, 4/6 = 2/3, mientras que el siguiente valdrá 4, y así sucesivamente.

Lo único que tenemos que hacer es averiguar qué parte del ciclo ocupa el término de posición 2016 y el 2017. Puesto que 2016 es divisible entre 6, está claro que serán el 2/3 y el 4, así que su suma será 14/3.