Home » Soluciones (Page 25)
Category Archives: Soluciones
Solución a botellas en el colegio
Problema 3 de la Marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Entre 6 personas han recogido 505 botellas de plástico para un trabajo escolar.
Se sabe que cada uno ha traído al menos 11 botellas, ya que parte del trabajo era crear un determinado objeto geométrico.
Andrés dice ¡yo he traído 20!
Bea dice que ha traído 21 y Cris afirma que ha traído 22.
Dani dice “ahora que habéis dicho eso, yo estoy seguro de que soy el que más he traído”.
¿Cuántas botellas ha tenido que traer Dani para poder hacer esa afirmación, como mínimo?
Solución:
Para que Dani pueda afirmar que es el que más ha traído, tiene que asegurarse de que nadie ha traído más que él.
En el peor de los casos, cuatro de los compañeros habrán traído muy pocas, y el quinto muchas, que es contra el que tendrá que competir Dani.
Como sabe, por las afirmaciones, que tres compañeros han traído 20, 21 y 22, que suman 63, el caso más desfavorable es que el cuarto compañero sólo trajera 11, que es el mínimo.
Entre esos cuatro compañeros, en ese hipotético caso, tendrían 74 botellas, y quedarían 431 para aportar entre Dani y su rival.
Por tanto, Dani debe aportar al menos 216, que es el primer número entero mayor que la mitad de 431.
Solución a números en una tabla
Problema 2 de la Marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Ponemos los números mayores que 1 en una tabla, de cuatro en cuatro por filas.
Una fila hacia se ordena hacia la derecha, empezando en la columna C, y otra hacia la izquierda empezando por la columna D.
¿En qué columna cae el 2020?
Solución:
(more…)
Solución a girando nueve veces
Problema 1 de la Marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Con nueve segmentos se ha construido una figura como la que se ve en la imagen.
Todos los segmentos forman en la unión el mismo ángulo.
El sexto segmento corta al primero, y los tres siguientes están dentro, hasta que vuelven a unirse al primero con el mismo ángulo.
¿Cuál es la medida de estos nueve ángulos iguales?
Solución:
(more…)
Solución al menor entero
Problema 0 de la Marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
¿Cuál es el número entero positivo más pequeño que se puede escribir (en el formato habitual) sólo con cifras 1 y 0, pero que es múltiplo de 225?
Y añado yo ¿habría algún número más pequeño que fuese múltiplo de 225 y se escriba usando sólo dos tipos de cifra?
Solución:
(more…)
Solución a juego de piedras
Problema 7 de la Fase Local de la LVI OME 2020 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Ana y Bernardo juegan al siguiente juego.
Se empieza con una bolsa que contienen n >= 1 piedras.
En turnos sucesivos, y empezando por Ana, cada jugador puede hacer los siguientes movimientos:
Si el número de piedras de la bolsa es par, el jugador puede coger una sola piedra o la mitad de las piedras.
Si el número de piedras de la bolsa es impar, tiene que coger una única piedra.
El objetivo del juego es coger la última piedra.
Determinar para qué valores de n tiene Ana una estrategia ganadora.
Solución:
(more…)
Solución a perpendiculares
Problema 5 de la Fase Local de la LVI OME 2020 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea ABC un triángulo con AB < AC y sea I su incentro. El incírculo es tangente al lado BC en el punto D.
Sea E el único punto que satisface que D es el punto medio del segmento BE.
La línea perpendicular a BC que pasa por E corta a CI en el punto P.
Demostrar que BP es perpendicular a AD.
Solución:
(more…)
Solución a polinomio positivo
Problema 4 de la Fase Local de la LVI OME 2020 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Consideramos el siguiente polinomio para los valores reales a, b y c:
p(x) = (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a).
Demuestra que p(x) >= 0 para todo x real si y solamente si a = b = c.
Solución:
(more…)
Solución a un sistema muy grande
Problema 3 de la Fase Local de la LVI OME 2020 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Encuentra todos los posibles valores x, y z, para los que se cumple:
x + y + z = 1
x²y + y²z + z²x = xy² + yz² + zx²
x³ + y² + z = y³ + z² + x 
Solución:
(more…)
Solución a sumas positivas
Problema 2 de la Fase Local de la LVI OME 2020 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sean a1, a2, …, a2020 2020 números reales de manera que la suma de 1009 de ellos cualesquiera es positiva. Demostrar que la suma de los 2020 números también es positiva.
Solución:
(more…)
Solución a no acaba en uno
Problema 1 de la Fase Local de la LVI OME 2020 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Dado un número natural n > 1 realizamos la siguiente operación: si n es par, lo dividimos entre 2; si n es impar, le sumamos 5.
Si el número obtenido tras esta operación es 1, paramos el proceso; en caso contrario, volvemos a aplicar la misma operación, y así sucesivamente.
Determinar todos los valores de n para los cuales este proceso es finito, es decir, se llega a 1 en algún momento.
Solución:
(more…)