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Category Archives: Soluciones
Solución al menor de los máximos
Problema 5 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Se consideran todos los pares de números reales (x, y) tales que 0 ≤ x ≤ y ≤ 1.
Sea M(x, y) el máximo valor del conjunto de tres números reales A = {xy, xy – x – y + 1, x + y – 2xy}.
Hallar el mínimo valor que puede tomar M(x, y) para todos estos pares (x, y).
Solución:
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Solución a función entera
Problema 1 de la 60 Olimpiada Internacional (2019) Se dirige a una edad de: 17-19 años
Sea Z el conjunto de los números enteros.
Determinar todas las funciones f:Z → Z tales que, para todos los enteros a y b, f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b)).
Solución:
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Solución a piezas de madera
Problema 4 del nivel C de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019 Se dirige a una edad de: 10-11 años
¿Cuáles de las figuras A, B, C y D indicadas pueden construirse pegando por los lados piezas de madera iguales a la forma de la izquierda?
Dejo dibujado un cuadriculado de guía para facilitar el razonamiento.
Solución:
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Solución a zona sombreada
Problema 4 del nivel B de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Partimos de un círculo de radio 4 metros.
Desde un punto exterior al círculo, trazamos dos tangentes al mismo, y comprobamos que forman en ese punto un ángulo de 60º.
Si rellenamos de color el área entre las dos tangentes y el círculo ¿qué área queda sombreada?
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Solución a los muñecos
Problema 4 de nivel A de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019 Se dirige a una edad de: 12-13 años
Daniel tiene la misma cantidad de vaqueros, indios, soldados y caballeros.
Después de la visita de su primo Quique, descubre que le ha desaparecido la tercera parte de los muñecos.
Sabiendo que la cantidad de vaqueros que le queda coincide con la de los indios que le faltan, y que le quedan 14 soldados de los 21 que tenía inicialmente, ¿cuántos caballeros se ha llevado Quique?
Solución:
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Solución de dos dígitos al cuadrado
Problema 1 del primer nivel de la XXV Olimpiada de Mayo (2019) Se dirige a una edad de 12 años
Halla todos los números de dos dígitos con la propiedad de que su cuadrado acaba en dos dígitos idénticos al número original.
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Solución a conjunto infinito de primos
Problema 2 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Determinar si existe un conjunto finito S formado por números primos positivos de manera que para cada entero n ≥ 2, el número 2² + 3² + … + n² sea múltiplo de algún elemento de S.
Solución:
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Solución a billar
Problema 3 del nivel C de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019 Se dirige a una edad de: 10-11 años
En una caja hemos metido las 15 bolas numeradas (del 1 al 15) de un billar americano.
Si elegimos al azar una bola, ordena los tres sucesos siguientes del que tenga menor al que tenga mayor probabilidad de ocurrir:
P es el suceso de que salga par o múltiplo de 5.
Q es el suceso de que salga múltiplo de 3 o acabe en cero.
R es el suceso de que sea impar.
Solución:
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Solución a enteros piola
Problema 1 del segundo nivel de la XXV Olimpiada de Mayo (2019) Se dirige a una edad de 14 años
Un entero es piola si los 9 restos que se obtienen al dividirlo entre 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 son todos diferentes y distintos de cero.
¿Cuántos enteros piolas hay entre 1 y 100000?
Solución:
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Solución a terna de enteros
Problema 3 del nivel B de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Encuentra una terna de enteros positivos x, y, z tales que se cumpla la siguiente igualdad:
97/19 = 5 + 1/(x + 1/(y + 1/z))
Solución:
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