Problema 5 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo 2023
Se dirige a una edad de: 13-14 años

Sobre la mesa hay 50 pilas de monedas que tienen 1, 2, 3, …, 50 monedas respectivamente.
Ana y Beto juegan al siguiente juego por turnos.

Primero, Ana elige una de las 50 pilas de la mesa, y Beto decide si esa pila es para Ana o para él.

Después, Beto elige una de las 49 pilas restantes de la mesa, y Ana decide si esa pila es para ella o para Beto.

Ellos continúan jugando alternadamente de esta manera hasta que uno de los jugadores tenga 25 pilas.

Cuando eso ocurre, el otro jugador toma todas las pilas restantes de la mesa y el que tiene más monedas, gana.

Determinar cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora.

Solución:
(more…)

Problema 5 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo 2023
Se dirige a una edad de: 11-12 años

Se tienen 100 cajas que se etiquetaron con los números 00, 01, 02, …, 99. En mil tarjetas se escribieron los números 000, 001, 002, …, 999, uno en cada tarjeta.

Está permitido colocar una tarjeta en una caja si el número de la caja se puede obtener al eliminar uno de los dígitos del número de la tarjeta. Por ejemplo, está permitido colocar la tarjeta 037 en la caja 07, pero no está permitido colocar la tarjeta 156 en la caja 65.

¿Puede ocurrir que luego de colocar todas las tarjetas en las cajas, haya exactamente 50 cajas vacías?

Si la respuesta es sí, indicar cómo se colocan las tarjetas en las cajas; si la respuesta es no, explicar por qué es imposible.

Solución:
(more…)

Problema 4 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo 2023
Se dirige a una edad de: 13-14 años

Matías tiene una hoja de papel rectangular ABCD, con AB < AD.

Inicialmente, él dobla la hoja a lo largo de una recta AE, donde E es un punto sobre el lado DC, de modo que el vértice D quede ubicado sobre el lado BC, como muestra la figura.

Luego dobla nuevamente la hoja a lo largo de una recta AF, donde F es un punto sobre el lado BC, de modo que el vértice B quede sobre la recta AE; y finalmente dobla la hoja a lo largo de la recta EF.

Matías observó que los vértices B y C quedaron ubicados sobre un mismo punto del segmento AE después de hacer los dobleces.

Calcular la medida del ángulo DAE.

Solución:
(more…)

Problema 4 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo 2023
Se dirige a una edad de: 11-12 años

Se tiene un tablero de tres filas y 2023 columnas.

En la primera fila están escritos los números desde 1 hasta 2023, ordenados de menor a mayor.

El diablo de los números escribe esos mismos números en las casillas de la segunda fila, pero ordenados a su elección.

Después, en cada casilla de la tercera fila escribe la diferencia entre los dos números ya escritos en su misma columna (el mayor menos el menor).

Por ejemplo, si en las primeras dos casillas de una columna están los números 21 y 198, en la tercera casilla se escribe 198 – 21 = 177.

Explicar por qué, sin importar cómo haya completado el diablo la segunda fila del tablero, nunca ocurrirá que al multiplicar los 2023 números de la tercera fila el resultado sea impar.

Solución:
(more…)

Problema 3 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo 2023
Se dirige a una edad de: 13-14 años

En el pizarrón están escritos los 49 números 2, 3, 4, . . . , 49, 50.

Una operación permitida consiste en elegir dos números distintos a y b del pizarrón tales que a sea múltiplo de b y borrar exactamente uno de los dos.

María hace una secuencia de operaciones permitidas hasta que observa que ya no es posible hacer ninguna más.

Determinar la mínima cantidad de números que pueden quedar en el pizarrón en ese momento.

Solución:
(more…)

Problema 3 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo 2023
Se dirige a una edad de: 11-12 años

Sobre una recta l hay cuatro puntos, A, B, C y D en ese orden, tales que AB = BC = CD.

Se elige un punto E fuera de la recta l de modo que al trazar los segmentos EB y EC se forme un triángulo equilátero EBC.

A continuación se trazan los segmentos EA y ED y se elige un punto F de modo que al trazar los segmentos FA y FE se forme un triángulo equilátero FAE exterior al triángulo EAD.

Por último se trazan las rectas EB y FA, que se cortan en el punto G.

Si el área del triángulo EBD es 10, calcula el área del triángulo EFG.

Solución:
(more…)

Problema 2 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo 2023
Se dirige a una edad de: 13-14 años

Sean a, b, c, d y e enteros positivos tales que a <= b <= c <= d <= e y que a + b + c + d + e = 1002.

a) Determinar el mayor valor posible de a + c + e

b) Determinar el menor valor posible de a + c + e

(more…)