Category: Soluciones

Solución a un sistema y un eneágono

Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Decimos que una terna (a, b, c) de números reales todos distintos de cero, es local, si:
a² + a = b²

b² + b = c²

c² + c = a².

(a) Probar que, si (a, b, c) es local, entonces (a – b)(b – c)(c – a) = 1.

(b) Sea A₁ A₂ … A₉ un eneágono regular (polígono regular de 9 lados). Supongamos que |A₁A₄| = 1 y sea |A₁A₂| = a, |A₁A₃| = b y |A₁A₅| = c. Prueba que (a, b, -c) es local.

Solución:
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Solución a volver los números iguales

Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea n >= 3 un entero positivo.

Los primeros n números positivos, 1, 2, … , n se escriben en una pizarra.

María realiza el siguiente proceso tantas veces como se quiera: primero elige dos números en una pizarra, y luego los reemplaza con aquellos que resultan de sumarle a ambos el mismo número positivo.

Determinar todos los enteros positivos n para los que María puede conseguir, repitiendo este proceso, que todos los números de la pizarra sean iguales.

Solución:
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Solución a números de colores

Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea n un entero positivo.

Cada uno de los números 1, 2, 3, …, 2023 se pinta de un color a escoger entre n distintos.

Una vez coloreados, se observa que cualquier par (a, b) con a < b y de manera que a | b (a divide a b), satisface que a y b son de distinto color.

Encuentra el menor valor de n para el cual esta situación es posible.

Solución:
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Solución a suma de cifras

Problema 0 del concurso Olitele 2022
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Hay algunos números de cuatro cifras (es decir, enteros entre el 1000 y el 9999, incluidos) con la siguiente propiedad:

Si hacemos la suma de ellos con 2022 resulta otro número de cuatro cifras y, entonces, si miramos el número resultante, el 2022 y el número de partida, entre todos ellos aparecen los 10 dígitos.

¿Cuánto suman los números que cumplen este enunciado?

Solución:
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Solución a el bosque

Problema 5 del nivel B de la Olimpiada Autonómica de la Comunidad Valenciana
Se dirige a una edad de: 14 -15 años

Un caprichoso mago vive en un bosque mágico en el que inicialmente hay 800 árboles, 100 abetos y 700 pinos.

Cada noche, el mago elige un único árbol al azar y le aplica un hechizo que lo transforma en la otra especie.

Su hechizo no siempre sale bien, sólo consigue transformar una tercera parte de las veces un abeto en un pino, pero cuando empieza con un pino es peor, sólo la quinta parte de las veces consigue que se transforme en un abeto.

a) ¿Qué es más probable que ocurra la primera noche, que aumenten los abetos, o los pinos en el bosque? (se supone que no pueden haber más de 800 árboles en el bosque, no nacen nuevos, ni tampoco mueren).

b) ¿Y si hubiese 700 abetos y 100 pinos al principio?

c) ¿Con qué cantidad inicial de pinos y abetos la probabilidad de aumentar los pinos o los abetos es la misma?

Solución:
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Solución a el juego de las fichas

Problema 4 del nivel C de la Olimpiada Autonómica de la Comunidad Valenciana
Se dirige a una edad de: 10 -11 años

Sara y Pablo tienen que ordenar la habitación de juegos. Como tienen prisa, se lo juegan a la 21.

De un montón de 21 fichas, pueden retirar alternativamente, una, dos o tres fichas del montón. Quien retira la última ficha gana y se podrá ir antes.

¿Qué estrategia utilizarías para ganar?

Solución:
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Solución a sumas

Problema 4 del nivel B de la Olimpiada Autonómica de la Comunidad Valenciana
Se dirige a una edad de: 14 -15 años

Observa la suma siguiente:

9 + 26 = 35

De los tres números implicados, uno es divisible por 2, pero no todos.

Uno es divisible por 3, pero no todos.

Uno es divisible por 5, pero no todos.

Uno es divisible por 7, pero no todos.

No hay ningún número entero mayor que 1 que divida a los tres números.

Una suma de este tipo, diremos que es interesante.

a) Demuestra brevemente que ningún número mayor que uno divide a dos de los tres números implicados en una suma interesante.

b) ¿Puedes encontrar todas las sumas interesantes en las que el resultado es menor que 30?

Solución:
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