Solución a potencias de siete
Problema 5 de la Fase Local (viernes) de la Olimpiada Matemática Española (2018) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea n un número natural. Probar que si la última cifra de 7n es 3, la penúltima es 4.
Solución:
De nuevo otro problema de números enteros con potencias de 7. La estructura de la solución es muy conocida, se trata de encontrar un patrón en las cifras y estudiar los casos que se presenten. Se puede trabajar por inducción o bien por restos (congruencias).
La clave está en que 7⁴ = 2401, que es de la forma 100k + 1. De esta forma, 7n + 4 = 7n·(100k + 1) = 100k + 7n, por lo que 7n + 4 tiene las mismas últimas dos cifras que 7n. Es fácil razonarlo de muchas otras formas, incluso aritméticamente.
Por ejemplo: está claro que los últimos dos dígitos de un producto sólo dependen de los dos últimos dígitos de los factores, de forma que, puesto que 7·7 = 49, 49·7 = 343, que acaba en 43, y 43·7 = 301, que acaba en 01, y 1·7 = 7, vuelven a repetirse los dos últimos dígitos de las potencias de 7 cada 4 potencias, siendo sus terminaciones 07, 49, 43, y 01.
Por lo tanto, las únicas posibles dos últimas cifras para las potencias de 7 son 01, 07, 49 y 43. Por lo tanto, la única forma de que la última cifra de 7n sea 3 es que n sea de la forma 4r + 3, es decir, que la penúltima cifra es evidente que será 4.
El error más común en este tipo de razonamientos es demostrar que los valores de la forma 4r + 3 acaban en 43 y tienen un 3 en la última cifra y un 4 en la penúltima, pero no mencionar que los que no son de esa forma (los demás) no pueden tener el 3 como última cifra (como es evidente, una vez descubierta la secuencia) y que, como se pide, acabar en 3 implica que la penúltima cifra es un 4.
Potencias de siete
Problema 5 de la Fase Local (viernes) de la Olimpiada Matemática Española (2018) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea n un número natural. Probar que si la última cifra de 7n es 3, la penúltima es 4.
Solución: Aquí
Solución a triángulo con polinomios
Problema 4 de la Fase Local (viernes) de la Olimpiada Matemática Española (2018) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Determina los números reales x > 1 para los cuales existe un triángulo cuyos lados tienen las longitudes siguientes:
x⁴ + x³ + 2x² + x + 1
2x³ + x² + 2x + 1
x⁴ – 1.
Solución:
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Triángulo con polinomios
Problema 4 de la Fase Local (viernes) de la Olimpiada Matemática Española (2018) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Determina los números reales x > 1 para los cuales existe un triángulo cuyos lados tienen las longitudes siguientes:
x⁴ + x³ + 2x² + x + 1
2x³ + x² + 2x + 1
x⁴ – 1.
Solución: Aquí
Solución a ecuación con funciones
Problema 3 de la Fase Local (viernes) de la Olimpiada Matemática Española (2018) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Encuentra todas las funciones reales de variable real que cumplen, para cualquier par de valores x e y, la igualdad siguiente:
f(x + f(x + y)) = f(2x) + y
Solución:
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Eduardo Sáenz de Cabezón #ConCincoPreguntas
¿Cuándo descubriste que te gustaban las Matemáticas?
Pues la verdad, no lo sé, cada vez tengo menos memoria y nunca he tenido mucho criterio: siempre me gusta todo, y en la escuela y el instituto me gustaban la literatura, los idiomas, las matemáticas, la física, el deporte.. Pero identifico dos momentos: Uno el gusto por hacer matemáticas con las clases de Emilio y Manolo al final de la secundaria. Otro, el deslumbramiento ante algo poderoso cuando en clase de álgebra me explicaron los teoremas de isomorfía de Noether. Ahí dije “esto es lo mío”.
¿Cómo recuerdas tu paso por la licenciatura o el grado en Matemáticas?
Atípico: yo estaba trabajando, una vecina que también estudiaba mates me pasaba los apuntes, yo los copiaba y me presentaba a los exámenes.. muchos de ellos los estudié dando biberones por la noche… Las pocas veces que podía ir a clase me daba cuenta de lo que ir a clase facilita el estudio, madre mía.
¿Quién es tu matemático/matemática preferido/preferida?
¡Eso no existe! No hay sólo uno o una, admiro diferentes facetas de diferentes matemáticos, clásicos y actuales. Si tengo que quedarme con un nombre, que sea Emmy Noether, por muchísimas razones.
¿Qué te gusta más de las Matemáticas?
Hacer matemáticas es la experiencia más intensamente creativa que he podido experimentar. Creo que es sólo comparable con algunas formas de creación artística pero con unas características muy particulares. Cuando tengo ocasión de sumergirme en la creación matemática la experiencia de libertad, de juego y de estímulo es muy poderosa, eso es lo que más me gusta.
¿Dónde hablaste por primera vez en público sobre Matemáticas?
Puede que fuera un espectáculo de cuentos (literarios y populares) que tenían relación con las matemáticas que hice durante un tiempo (como cuentacuentos, no como matemático o divulgador ni nada de eso) hace muchísimos años, seguro que má de veinte y desde luego antes de terminar la carrera.
Ecuación con funciones
Problema 3 de la Fase Local (viernes) de la Olimpiada Matemática Española (2018) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Encuentra todas las funciones reales de variable real que cumplen, para cualquier par de valores x e y, la igualdad siguiente:
f(x + f(x + y)) = f(2x) + y
Solución: Aquí.
Solución a suma de cuadrados
Problema 1 del viernes de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española 2018 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sean a y b dos números naturales mayores o iguales a 1, cuyo máximo común divisor y mínimo común múltiplo designamos por D y M, respectivamente.
Demuestra que D² + M² ≥ a² + b².
Solución:
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Suma de cuadrados
Problema 1 del viernes de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española 2018 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sean a y b dos números naturales mayores o iguales a 1, cuyo máximo común divisor y mínimo común múltiplo designamos por D y M, respectivamente.
Demuestra que D² + M² ≥ a² + b².
Solución: Aquí
Solución a extraer un par de bolas
Problema 11 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En una bolsa hay n bolas, en cada una de las cuales hay escrito un número natural.
Hacemos el experimento aleatorio de extraer dos bolas de esa bolsa y sumar los números que aparecen.
Designamos como p la probabilidad de que la suma de ambos números sea par, y q la probabilidad de que sea impar.
Estudia cuáles pueden ser los valores de n y qué distribución han de tener los números de la bolsa para que se cumpla que p = q.
Solución:
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