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Cinco puntos en una circunferencia
Problema 1 de la Fase Catalana de la OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Cinco puntos, P, P1, P2, P3 y P4, están sobre la misma circunferencia.
Demuestra que el producto de la distancia desde P a la recta P1P2 por la distancia desde P a la recta P3P4 es igual al producto de las distancia desde P a la recta P1P3 por la distancia desde P a la recta P2P4.
(En la imagen se puede acceder a un ejemplo interactivo, en el que se pueden mover los puntos)
Solución: Aquí.
El menor de los máximos
Problema 5 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Se consideran todos los pares de números reales (x, y) tales que 0 ≤ x ≤ y ≤ 1.
Sea M(x, y) el máximo valor del conjunto de tres números reales A = {xy, xy – x – y + 1, x + y – 2xy}.
Hallar el mínimo valor que puede tomar M(x, y) para todos estos pares (x, y).
Solución: Aquí.
Solución a conjunto infinito de primos
Problema 2 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Determinar si existe un conjunto finito S formado por números primos positivos de manera que para cada entero n ≥ 2, el número 2² + 3² + … + n² sea múltiplo de algún elemento de S.
Solución:
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Conjunto infinito de primos
Problema 2 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Determinar si existe un conjunto finito S formado por números primos positivos de manera que para cada entero n ≥ 2, el número 2² + 3² + … + n² sea múltiplo de algún elemento de S.
Solución: Aquí.
Solución a ecuación diofántica
Problema 4 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Calcular todos los pares de enteros (x, y) que cumplen la siguiente igualdad: 3⁴·2³ (x² + y²) = x³·y³.
Solución:
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Ecuación diofántica
Problema 4 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Calcular todos los pares de enteros (x, y) que cumplen la siguiente igualdad: 3⁴·2³ (x² + y²) = x³·y³.
Solución: Aquí.
Solución a números orensanos
Problema 1 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Un conjunto de números enteros T es orensano si existen tres números, llamados a, b y c, a < b < c, tales que a y c pertenecen a T y b no pertenece a T.
Hallar el número de subconjuntos T de {1, 2, … , 2019} que son orensanos.
Solución:
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Números orensanos
Problema 1 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Un conjunto de números enteros T es orensano si existen tres números, llamados a, b y c, a < b < c, tales que a y c pertenecen a T y b no pertenece a T.
Hallar el número de subconjuntos T de {1, 2, … , 2019} que son orensanos.
Solución: Aquí.
Solución a un ángulo y su doble
Problema 4 de la Fase Nacional de la XLVII OME 2011 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea ABC un triángulo con un ángulo en A que es doble del ángulo en B, y un ángulo en C mayor de 90º.
Sea D un punto de la recta AC tal que BD es perpendicular a BC, y M el punto medio de AB.
Demuestra que el ángulo AMC coincide con el ángulo DMB.
Solución:
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Un ángulo y su doble
Problema 4 de la Fase Nacional de la XLVII OME 2011 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea ABC un triángulo con un ángulo en A que es doble del ángulo en B, y un ángulo en C mayor de 90º.
Sea D un punto de la recta AC tal que BD es perpendicular a BC, y M el punto medio de AB.
Demuestra que el ángulo AMC coincide con el ángulo DMB.
Solución: Aquí.