Category: Olimpiada Matemática Española

Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Un grupo de 12 piratas de edades diferentes se reparte 2022 monedas, de manera que cada pirata (salvo el más joven) tiene una moneda más que el siguiente más joven.

A continuación, cada día se procede de la siguiente manera: se escoge un pirata que tenga al menos 11 monedas y ese pirata da una moneda a todos los demás.

Encontrar el mayor número de monedas que un pirata puede llegar a tener.
Solución: Aquí.

Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sean a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ y a₆ números reales diferentes, de manera que ninguno de ellos es igual a 0.

Supongamos que (a₁² + a₂² + a₃² + a₄² + a₅²)(a₂² + a₃² + a₄² + a₅² + a₆²) = (a₁a₂ + a₂a₃ +a₃a₄ + a₄a₅ + a₅a₆)².

Demuestra que los números a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ y a₆ están en progresión geométrica.

Solución: Aquí.

Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABC un triángulo isósceles con el ángulo BAC de 100º.

La bisectriz del ángulo CBA corta al lado AC en el punto D.

Demostrar que BD + DA = BC.
Solución: Aquí.

Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Un número n de siete cifras es bonito si se puede expresar como la suma de dos números de siete cifras s y t, tales que todas las cifras de s son impares y todas las cifras de t son pares.

Determinar cuáles de los siguientes números son bonitos:

6204773, 6372538, 7343053, 8993267, 9652393.

Solución: Aquí.

Problema 4 de la fase nacional de 2017 de la Olimpiada Matemática Española
Se dirige a una edad de: 16 - 17 años

Se dispone de una fila de 2018 casillas, numeradas consecutivamente de 0 a 2017.
Inicialmente, hay una ficha colocada en la casilla 0.

Dos jugadores A y B juegan alternativamente, empezando A, de la siguiente manera:

En su turno, cada jugador puede, o bien hacer avanzar la ficha 53 casillas, o bien hacer retroceder la ficha 2 casillas, sin que en ningún caso se sobrepasen las casillas 0 ó 2017.

Gana el jugador que coloque la ficha en la casilla 2017.

¿Cuál de ellos dispone de una estrategia ganadora, y cómo tendría que jugar para asegurarse ganar?
Solución: Aquí.