Problema 6 de la marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Se ha inscrito un triminó formado por tres cuadrados iguales unidos por sus lados formando un ángulo recto, en un rectángulo, de forma que cinco de sus vértices están en los lados del rectángulo, como se ve en la figura.
Si suponemos que el lado de cada cuadrado es un número conocido (pongamos que vale 3), calcula el área del rectángulo.
Solución: Aquí.
Problema 1 de la I Math Home 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Dentro de un cuadrado de área 12 se colocan tres triángulos de áreas 4, 5 y 6, respectivamente.
Muestra que dos de los triángulos se solapan en una región de área mayor o igual a 1.
Solución:
En realidad, da igual que las formas que dibujes en el interior del cuadrado tengan formas de triangulo o cualquier otra, así como que el exterior sea un cuadrado o tenga otra forma, siempre que sean medibles.
Cada uno de los puntos del cuadrado cumple que, o bien no está en ninguno de los tres triángulos, o bien sí lo está. Si está dentro del primero, puede ser que esté en otro o no.
Así se llega con paciencia a que el área del cuadrado es igual al área exterior de los tres triángulos más la suma de los tres, menos la suma de las tres intersecciones, más la suma de la intersección de los tres.
Así, Denotando el cuadrado como D y A, B y C los triángulos, a(D) = a(D – A∪B∪C) + a(A) + a(B) + a(C) – a(A∩B) – a(B∩C) – a(A∩C) + a(A∩B∩C).
De esta forma, 12 = a(D – A∪B∪C) + 15 – a(A∩B) – a(B∩C) – a(A∩C) + a(A∩B∩C), por lo que se tiene que a(A∩B) + a(B∩C) + a(A∩C) = 3 + a(D – A∪B∪C) + a(A∩B∩C).
Por lo tanto, si las tres áreas propuestas son menores que 1, alguna de las otras dos debe ser negativa, lo cual es absurdo.
Problema 1 de la I Math Home 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Dentro de un cuadrado de área 12 se colocan tres triángulos de áreas 4, 5 y 6, respectivamente.
Muestra que dos de los triángulos se solapan en una región de área mayor o igual a 1.
Solución: Aquí.
Problema 4 de la Marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Una sala de cine hace cuentas acerca de la asistencia de espectadores.
Los cinco días de diario, la media aritmética es de 1100 asistentes.
El sábado y el domingo, la sala está llena.
Si se tienen en cuenta todos los días de la semana, la media sube un 24% respecto a los días de diario.
¿Cuál es la capacidad de la sala?
Solución: Continue reading Solución a sala de cine
Problema 4 de la Marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Una sala de cine hace cuentas acerca de la asistencia de espectadores.
Los cinco días de diario, la media aritmética es de 1100 asistentes.
El sábado y el domingo, la sala está llena.
Si se tienen en cuenta todos los días de la semana, la media sube un 24% respecto a los días de diario.
¿Cuál es la capacidad de la sala?
Solución: Aquí.
Problema 3 de la Marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Entre 6 personas han recogido 505 botellas de plástico para un trabajo escolar.
Se sabe que cada uno ha traído al menos 11 botellas, ya que parte del trabajo era crear un determinado objeto geométrico.
Andrés dice ¡yo he traído 20!
Bea dice que ha traído 21 y Cris afirma que ha traído 22.
Dani dice “ahora que habéis dicho eso, yo estoy seguro de que soy el que más he traído”.
¿Cuántas botellas ha tenido que traer Dani para poder hacer esa afirmación, como mínimo?
Solución:
Para que Dani pueda afirmar que es el que más ha traído, tiene que asegurarse de que nadie ha traído más que él.
En el peor de los casos, cuatro de los compañeros habrán traído muy pocas, y el quinto muchas, que es contra el que tendrá que competir Dani.
Como sabe, por las afirmaciones, que tres compañeros han traído 20, 21 y 22, que suman 63, el caso más desfavorable es que el cuarto compañero sólo trajera 11, que es el mínimo.
Entre esos cuatro compañeros, en ese hipotético caso, tendrían 74 botellas, y quedarían 431 para aportar entre Dani y su rival.
Por tanto, Dani debe aportar al menos 216, que es el primer número entero mayor que la mitad de 431.
Problema 3 de la Marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Entre 6 personas han recogido 505 botellas de plástico para un trabajo escolar.
Se sabe que cada uno ha traído al menos 11 botellas, ya que parte del trabajo era crear un determinado objeto geométrico.
Andrés dice ¡yo he traído 20!
Bea dice que ha traído 21 y Cris afirma que ha traído 22.
Dani dice “ahora que habéis dicho eso, yo estoy seguro de que soy el que más he traído”.
¿Cuántas botellas ha tenido que traer Dani para poder hacer esa afirmación, como mínimo?
Solución: Aquí.
Problema 2 de la Marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Ponemos los números mayores que 1 en una tabla, de cuatro en cuatro por filas.
Una fila hacia se ordena hacia la derecha, empezando en la columna C, y otra hacia la izquierda empezando por la columna D.
¿En qué columna cae el 2020?
Solución:
Continue reading Solución a números en una tabla
Problema 2 de la Marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Ponemos los números mayores que 1 en una tabla, de cuatro en cuatro por filas.
Una fila hacia se ordena hacia la derecha, empezando en la columna C, y otra hacia la izquierda empezando por la columna D.
¿En qué columna cae el 2020?
Solución: Aquí.
Problema 1 de la Marató de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Con nueve segmentos se ha construido una figura como la que se ve en la imagen.
Todos los segmentos forman en la unión el mismo ángulo.
El sexto segmento corta al primero, y los tres siguientes están dentro, hasta que vuelven a unirse al primero con el mismo ángulo.
¿Cuál es la medida de estos nueve ángulos iguales?
Solución:
Continue reading Solución a girando nueve veces