Problema 14 del concurso Marató de problemes 2022
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Este es el problema de razonamiento que más puntos da del concurso. Se trata de resolver tres problemas similares en los que hay que razonar el área que falta para completar el polígono que se dibuja.

A) Un triángulo se ha descompuesto en dos partes, un cuadrilátero y un triángulo, tal y como se ve en la figura.

Se indican las longitudes de los segmentos en los que se han dividido los lados y el área del cuadrilátero.

Calcula el valor X del área del triángulo.

B)
Las dos diagonales de un cuadrilátero lo dividen en 4 triángulos. Si las áreas, tomadas en sentido horario, miden 24, 18, 12 y T, averigua el valor de T.

c) En un hexágono se trazan 4 diagonales, de la forma que indica el dibujo, y se ha descompuesto en seis triángulos y un cuadrilátero.

Conocemos las áreas de seis triángulos, que podemos ver en la figura.

Calcula el valor de Q, el área del cuadrilátero.

Solución:
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Problema 13 del concurso Marató de problemes 2022
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Tenemos 9 dados. Cuatro son de color ámbar, tres de color azul, y dos de color rojo.

Los dados de cada color son indistinguibles entre sí.

Los queremos poner, los nueve, unidos cada uno de ellos con el otro por un lado. En el dibujo aparece un ejemplo.

A) ¿De cuántas maneras podemos situar los dados, fijándonos únicamente en el color, de forma que cada uno de ellos tenga, tocándole, otro del mismo color?

B) ¿De cuántas formas podemos situar los dados para que ninguno de ellos tenga, tocándole, a ninguno del mismo color?

Solución:
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Problema 12 del concurso Marató de problemes 2022
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En una sala hay m personas que tienen una media de edad de A años y A es un número entero.

Entonces llega otro grupo con n personas que tienen una media de edad de A + 7 años.

Resulta que la media de edad de todas las personas de la sala es, ahora, también un número entero.

¿Cuántos valores diferentes puede tener la razón m/n y cuál es la suma de todos esos valores?

A los concursantes, en lugar de 7 les aparecía otro valor, que dependía de su contraseña.

Solución:
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Problema 10 del concurso Marató de problemes 2022
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Aplicamos una de las siguientes reglas a un número positivo n:

Si n es impar, lo incrementamos 5 unidades, pasamos a n + 5.

Si n es par, lo dividimos por 2, y por tanto pasamos a n/2.

Aplicamos esta regla a un número entero k y obtenemos r.

Después aplicamos la regla a r y obtenemos s.

Finalmente aplicamos la regla a s y obtenemos t.

Si resulta que t es 2022, ¿cuál es el valor más pequeño que puede tener el número inicial k?

Solución:
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Problema 9 del concurso Marató de problemes 2022
Se dirige a una edad de: 14-15 años

¿Cuántas soluciones diferentes tiene la ecuación 9x + 2y + 3z = 59, en la que x, y, z son números enteros positivos?

¿Cuál es el mayor valor que toma x + y + z para alguna de estas soluciones?

Solución:
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Problema 8 del concurso Marató de problemes 2022
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Los dígitos de la secuencia 123451234512345… (sucesivas copias de los cinco dígitos 12345) se sitúan en las celdas de una cuadrícula formando una cadencia en espiral que comienza en la celda marcada en gris, tal y como mostramos en la siguiente imagen.

a) Explica en qué casilla estará situado el 5 que ocupa el lugar 80 de la secuencia.

b) Expón un algoritmo adecuado para situar en la cuadrícula la cifra que ocupa el lugar n de la secuencia.

c) Razona qué dígito estará colocado exactamente 15 celdas por encima de la celda marcada en gris.

d) Expón un algoritmo adecuado para decidir qué cifra ocupa la casilla que está “en vertical” exactamente c celdas por encima de la casilla gris.
Solución:
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Problema 7 del concurso Marató de problemes 2022
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Una pirámide recta de h centímetros de altura tiene como base una de las caras de un cubo.

La suma de las longitudes de las aristas de la pirámide es igual a la suma de las longitudes de todas las aristas del cubo.

¿Cuál es el área de la base de la pirámide? (Se debe dar en función de h)

Solución:
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