Solución a 100 pollitos

Mathcounts, ronda final, séptimo problema de 2017
Se dirige a una edad de: 13

En una granja, cien pollitos se distribuyen pacíficamente en una circunferencia. En un momento determinado, simultaneamente, cada pollito picotea al pollito de la izquierda o de la derecha, (a uno de los dos aleatoriamente).

¿Qué número de pollitos se estima que no hayan recibido ningún picotazo?

Continue reading Solución a 100 pollitos

Solución a dígitos impares

Primer nivel de la Olimpiada de Mayo, 2016.
Se dirige a una edad de: 12 años

A cada número de tres dígitos Matías le sumó el número que se obtiene invirtiendo sus dígitos.

Por ejemplo, al número 927 le sumó el 729.

Calcular en cuántos casos el resultado de la suma de Matías es un número con todos sus dígitos impares.

Solución:
Continue reading Solución a dígitos impares

Solución a aviones y ciudades

Olimpiada All-Russian, primer problema del primer día del grado 9

En un país, algunas ciudades están conectadas por vuelos en avión, no necesariamente en los dos sentidos (no hay más que un vuelo entre dos ciudades determinadas).

Decimos que una ciudad A está disponible desde una ciudad B, si podemos volar de B hasta A, tal vez haciendo varias escalas.

Se sabe que para cada par de ciudades P y Q, existe una ciudad R desde la que tanto P como Q están disponibles.
Prueba que existe una ciudad A desde la que todas las ciudades están disponibles.

Continue reading Solución a aviones y ciudades

Solución a dos pirámides

Problema propuesto en la prueba PSAT de la Universidad de Princeton, en 1981
Se dirige a una edad de: 16/17

Disponemos de dos pirámides, cuyas caras laterales son todas triángulos equiláteros. Una es de base cuadrada y la otra, de base triangular.
¿Cuántas caras tiene el sólido que formamos si las unimos por una de las caras laterales?

Este problema tiene detrás una curiosa historia, de la que hablaremos cuando pongamos la solución.

Continue reading Solución a dos pirámides

Solución a ecuaciones con y sin

Torneo de las ciudades, 2016 (Primavera, nivel A junior)
Se dirige a una edad de: 12/15

a) ¿Existen enteros a y b de forma que la ecuación x2 + ax + b = 0 no tiene soluciones reales y la ecuación [x2] + ax + b = 0 sí que tiene al menos una solución real?

b) ¿Existen enteros a y b de forma que la ecuación x2 + 2ax + b = 0 no tiene soluciones reales y la ecuación [x2] + 2ax + b = 0 sí que tiene al menos una solución real?

(La función [k] denota la parte entera de k, es decir, el entero más grande que está por debajo de k.)

Continue reading Solución a ecuaciones con y sin

Solución a sucesión estancada

Olimpiada Matemática Internacional 2017, problema 1.
Se dirige a una edad de: 16/17

Para cada entero a0 > 1, se define la sucesión a0, a1, a2, … tal que para cada n ≥ 0: an + 1 = √(an), siempre que √(an) sea entero, mientras que an + 1 = an + 3 en cualquier otro caso.

Determinar todos los valores de a0 para los que existe un número A tal que an = A para infinitos valores de n.

Continue reading Solución a sucesión estancada

Solución a pesos al azar

Canguro Matemático 2017. Nivel 5 (1º Bachillerato), problema 28.
Se dirige a una edad de: 16/17

En una balanza se colocan al azar tres pesos en cada platillo, que queda desequilibrada. La figura muestra lo que sucede. Los pesos eran de 101, 102, 103, 104, 105 y 106 gramos.

¿Cuál es la probabilidad de que el peso de 106 gramos esté en el platillo que pesa más?


Continue reading Solución a pesos al azar

Solución a cinco circunferencias

Fase Comarcal de la Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana 2016, nivel B
Se dirige a una edad de: 15/16

En el dibujo, podemos ver cinco circunferencias, una más grande que contiene a las otras, dos medianas y dos más pequeñas. Todas son tangentes a tres o cuatro de las otras.

Sabemos que el radio de las circunferencias medianas mide 1 metro. ¿Cuánto mide el radio de las pequeñas?

Continue reading Solución a cinco circunferencias