Solución a el pedido caprichoso

Problema 9 del concurso Olitele 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Un fabricante de tres productos, cuyos precios unitarios son P1, P2 y P3.

Recibe un pedido de Q unidades en total de un detallista, que le transfiere un pago de T euros, que debe satisfacerse exactamente.

El detallista pone la condición de que le envíe el máximo posible del producto más caro (supongamos que es P3), y el resto de los otros productos, de manera que haya al menos uno de cada tipo.

¿Cuántos tiene que enviar de cada tipo para satisfacer el pedido?

(Para fijar los valores con los que se ha de explorar en la búsqueda de la solución, soluciona el problema con los valores P1 = 30, P2 = 45, P3 = 50, Q = 60 y T = 2930 y luego generaliza)

Solución:
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Solución a cuatro círculos

Problema 8 del concurso Olitele 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En una circunferencia de radio R trazamos una una circunferencia tangente a la circunferencia y al diámetro, que vemos en este caso de color rojo. Su radio será r.

Seguro que sabemos deducir que el radio de esta circunferencia es r = R/2.

A continuación trazamos una circunferencia de radio s tangente a la circunferencia de color rojo, al diámetro y a la circunferencia inicial, en el dibujo de color azul. Se pide como primer dato la relación entre s y R, es decir, el valor k que cumple s = k·R.

Por último, trazamos una circunferencia de radio t, tangente a la circunferencia de radio s anterior, al diámetro y a la circunferencia inicial, que en el dibujo vemos de color naranja. Se pide la relación entre t y R, es decir, el valor h que cumple t = h·R.

Solución:
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Solución a tres cuadrados en otro cuadrado

Problema 7 del concurso Olitele 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sobre la diagonal de un cuadrado se sitúan dos puntos que se usan para construir tres cuadrados de forma que el cuadrado central tiene la misma área que la suma de las otras dos.

Razona con todo detalle y precisión cuánto mide el ángulo que se forma en un vértice del cuadrado contenedor que no esté en la diagonal al unirlo con los dos vértices de la diagonal del cuadrado central.

Solución:
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Solución a escalera mecánica

Problema 6 del concurso Olitele 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Enrique y Francisca deben subir una larga escalera mecánica que está en marcha.

Como tienen prisa, mientras funciona la escalera, ellos avanzan más rápido porque van subiendo escalones de uno en uno.

Enrique sube escalones tres veces más rápido que Francisca.

Cuando llegan arriba del todo, Enrique ha subido e escalones, y Francisca ha subido f.

¿Cuántos escalones habrían tenido que subir si la escalera hubiese estado parada (en función de esos dos valores)?

Nota: los concursantes recibían dos valores concretos, diferentes para cada persona.
Solución:
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Solución a piratas

Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Un grupo de 12 piratas de edades diferentes se reparte 2022 monedas, de manera que cada pirata (salvo el más joven) tiene una moneda más que el siguiente más joven.

A continuación, cada día se procede de la siguiente manera: se escoge un pirata que tenga al menos 11 monedas y ese pirata da una moneda a todos los demás.

Encontrar el mayor número de monedas que un pirata puede llegar a tener.
Solución:
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Solución a igualdad y conclusión

Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sean a1, a2, a3, a4, a5 y a6 números reales diferentes, de manera que ninguno de ellos es igual a 0.

Supongamos que (a1² + a2² + a3² + a4² + a5²)(a2² + a3² + a4² + a5² + a6²) = (a1a2 + a2a3 +a3a4 + a4a5 + a5a6)².

Demuestra que los números a1, a2, a3, a4, a5 y a6 están en progresión geométrica.

Solución:
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Solución a bisectriz en un isósceles

Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABC un triángulo isósceles con el ángulo BAC de 100º.

La bisectriz del ángulo CBA corta al lado AC en el punto D.

Demostrar que BD + DA = BC.
Solución:
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Solución a números bonitos

Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Un número n de siete cifras es bonito si se puede expresar como la suma de dos números de siete cifras s y t, tales que todas las cifras de s son impares y todas las cifras de t son pares.

Determinar cuáles de los siguientes números son bonitos:

6204773, 6372538, 7343053, 8993267, 9652393.

Solución:
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Solución a calculadora averiada

Problema 5 del concurso Olitele 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En mi calculadora, una y sólo una de las teclas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, o 9 funciona mal: cuando la pulsas, aparece en pantalla un dígito entre 1 y 9 que no es el que corresponde.

En esta calculadora, cuando quiero escribir el número 987654321, aparece en la pantalla un número divisible por 11 y que deja resto 3 al dividirlo por 9.

¿Cuál es la tecla que funciona mal, y qué cifra hace aparecer?

Solución:
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Solución a antena de telefonía fija

Problema 4 del concurso Olitele 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Una antena de telefonía se fija verticalmente sobre una base rectangular horizontal, de vértices ABCD, con cables que van desde el extremo superior de la antena a los cuatro vértices de la base.

Conocemos la longitud de tres cables, que son:

El cable que va del vértice A a la antena, que tiene a metros.

El cable que va del vértice B a la antena, que tiene b metros.

El cable que va del vértice C a la antena, que tiene c metros.

Estos tres datos permiten determinar la longitud del cuarto cable, que se une al vértice D. Calcula, en función de a, b y c, la longitud del cable que falta.

Solución:
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