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Category Archives: Soluciones
Solución a la velocidad del robot
Problema 3 de la Olitele 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Berta y Bernat están aprendiendo a programar un robot. Le deben hacer recorrer d metros y lo han programado para que alcance v m/s de velocidad, pero no lo han logrado del todo y el robot se mueve más rápido, consiguiendo (v + x) m/s de velocidad.
Se sorprendieron bastante cuando, al cabo de t segundos desde que el robot había iniciado su marcha, exactamente en el momento que debía llegar a su destino, les notificaron desde la llegada que hacía s segundos que el robot había sobrepasado el punto donde debía acabar su trayecto.
Hicieron girar inmediatamente el robot 180º y lo reprogramaron, pero ahora la velocidad real del robot tampoco fue la acertada, sino que iba más despacio de lo que querían. En el camino de vuelta su velocidad era, curiosamente, (v – x) m/s. ¿Cuánto tiempo después de girar llegó al punto que debía ser el final trayecto inicial?
Solución:
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Solución a conjunto bescanoní
Problema 2 de la Fase Catalana de la OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea n= 2k un número entero positivo.
Se dice que un subconjunto A de {1, 2, 3, …, n} es bescanoní si cumple que
1) El número 1 pertenece al conjunto.
2) Si un número x pertenece al conjunto, entonces 2x no pertenece al conjunto.
Se pide:
a) Encontrar un conjunto bescanoní con el máximo número de elementos cuando n = 2⁵.
b) Calcular el máximo número de elementos que puede tener un conjunto bescanoní en función de k.
Solución:
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Solución a de cuatro cifras
Problema 2 de la Olitele 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
¿Cuántos números de cuatro cifras (desde el 1000 hasta el 9999) hay que cumplan que la suma del número formado por las dos primeras cifras, más la cifra de las decenas, más la de las unidades, sea igual que el número formado por las dos últimas cifras? 
Solución:
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Solución a cinco puntos en una circunferencia
Problema 1 de la Fase Catalana de la OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Cinco puntos, P, P1, P2, P3 y P4, están sobre la misma circunferencia.
Demuestra que el producto de la distancia desde P a la recta P1P2 por la distancia desde P a la recta P3P4 es igual al producto de las distancia desde P a la recta P1P3 por la distancia desde P a la recta P2P4.
(En la imagen se puede acceder a un ejemplo interactivo, en el que se pueden mover los puntos)
Solución:
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Solución a rectángulo inclinado
Problema 1 de la Olitele 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
La figura muestra dos rectángulos, ABCD y BEFD, de forma que el lado DB del segundo rectángulo es una diagonal del primero y el lado EF pasa por C.
Si conocemos los lados m y p del primer rectángulo ¿Cuál es el área del segundo rectángulo?
Solución:
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Solución a ¿quién dice la verdad?
Problema 3 del nivel C de la Fase Provincial de la de la XXX OMCV 2019 Se dirige a una edad de: 10-11 años
En el país Vermentira, la gente está dividida de la siguiente forma:
– Verdotones: los que siempre dicen la verdad.
– Mentirones: los que nunca dicen la verdad.
Lo curioso es que, además de esa característica, no hay manera de diferenciarlos por su apariencia.
Ahora supongamos que una persona viaja desde Madrid y, al llegar a Vermentita, se encuentra con tres mujeres: Alicia, Beatriz y Carmen. Esta persona conoce las características de la población y, como desea saber a qué categoría pertenece cada una de ellas, les hace las siguientes preguntas:
– A Alicia le pregunta: “¿A qué categoría pertenece Beatriz?”. Y Alicia le contesta: A mentirones.
– A Beatriz le pregunta: “¿Es verdad que Alicia y Carmen pertenecen a diferentes categorías?”. Y Beatriz le responde: No.
– Por último, le pregunta a Carmen lo mismo que le había preguntado a Alicia: “¿A qué categoría pertenece Beatriz?”. Y Carmen le dice: Ella es una verdotona.
Por tanto, con esas tres preguntas que hizo la persona:
– ¿Se puede determinar a qué categoría pertenece cada una de las mujeres?
– Si se pudiera determinar, indica a qué grupo pertenecerá cada una.
– Si no se pudiera, explica las razones.
Solución:
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Solución a números consecutivos
Problema 3 del nivel B de la Fase Provincial de la de la XXX OMCV 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Consideramos 13 números enteros consecutivos y las afirmaciones siguientes:
a) El número central es la media de los que ocupan las posiciones 6ª y 8ª.
b) La suma de todos los números es divisible por 13.
c) Al menos cuatro de ellos son divisibles por 3.
d) Siete son pares.
e) La mediana de esta serie de números es la media de los dos extremos.
¿Cuáles de estas afirmaciones no son siempre verdaderas?
Solución:
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Solución a deshaciendo el camino
Problema 3 de nivel A de la Fase Provincial de la de la XXX OMCV 2019 Se dirige a una edad de: 12-13 años
Seguro que conocéis los dibujos que se deben recorrer sin levantar el lápiz del papel ni pasar dos veces por una línea ya trazada.
Para no perdernos, hemos ido numerando los vértices, y hemos obtenido la secuencia 15294758137269.
¿Puedes colocar los números sobre la figura?
Solución:
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Solución a un gran número
Problema 0 de la Olitele 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Si A es el número 111…111 que se escribe con 2019 cifras iguales a 1, ¿cuál es la suma de las cifras del número que es el resultado del producto de A por 2020?
Solución:
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Solución a depósito de agua
Problema 2 del nivel C de la Fase Provincial de la de la XXX OMCV 2019 Se dirige a una edad de: 10-11 años
En el pueblo quieren construir dos depósitos de agua (con tapa), y tienen que elegir entre dos proyectos que se han presentado.
El primero es un cilindro con radio 30,9 metros, y una altura de 50 metros.
El segundo es un depósito con forma de prisma rectangular, con una base de 30 por 100 metros, y una altura de 50 metros.
Calcula el volumen de cada proyecto, para encontrar cuál es el que tiene más capacidad.
Puesto que el material para hacerlo cuesta 3,2 € el metro cuadrado, ¿cuál sería el más barato de los dos al construirlo?
Solución:
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