Problema 1 del sábado de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Considera el conjunto de números enteros positivos n cumpliendo 1 ≤ n ≤ 1000000.

En este conjunto, indica si es mayor la cantidad de números que pueden expresarse de la forma a³ + mb², con a, b números naturales y m pertenece al conjunto {0, 2, 4, 6, 8} o la cantidad de números que no pueden expresarse de esa manera.

Solución:
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Problema 6 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Fijamos un número natural k mayor o igual que 1. Encuentra todos los polinomios P(x) que cumplan P(x^k) – P(kx) = x^kP(x).

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Problema 5 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

¿Existen n y m naturales diferentes de cero de forma que el resultado de la expresión n² + 2018nm + 2019m + n – 2019m² es un número primo?

Solución:
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Problema 4 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea p ≥ 3 un número primo, y consideremos el triángulo rectángulo de cateto mayor p² – 1 y cateto menor 2p.

Inscribimos en el triángulo un semicírculo cuyo diámetro se apoya en el cateto mayor y es tangente a la hipotenusa y al cateto menor del triángulo.

Encuentra los valores de p para los cuales el radio del semicírculo es un número entero.

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Problema 2 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Demuestra que para todo n ≥ 2 podemos encontrar n números reales x₁, x₂, …, x_n ≠ 1 de manera que los productos x₁·x₂·…·x_n y (1/(1 – x₁))·(1/(1 – x₂))·…·(1/(1 – x_n)) son iguales.

Solución:
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Problema 1 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Para cada número de cuatro cifras abcd, denotamos por S al número S = abcd – dcba. Demuestra que S es múltiplo de 37 si y sólo si las dos cifras centrales del número abcd son iguales.

Solución:
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