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Category Archives: Soluciones
Solución a menores que 20182019
Problema 0 de la Olitele 2018 Se dirige a una edad de: 16-17 años
¿Cuántas soluciones enteras tiene el sistema de ecuaciones x² = y³ = K para valores de k menores que 20182019?
Nota: una solución es una terna (x, y, k).
En este problema se piden los casos en los que tanto x, como y, como k, son números enteros.
Solución:
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Solución a triángulo de Pascal binario
Regalo estacional de los organizadores de la edición 2019 de la Olimpiada Internacional Se dirige a una edad de: 16-17 años
Una entrada es una cadena de ceros y unos.
A partir de ella, escribimos una fila de unos y ceros usando las reglas del triángulo de Pascal, donde cada uno de los números es suma de los dos situados en diagonal por encima suyo.
Trabajamos “módulo 2”, es decir, 1 + 1 = 0.
Repetimos el proceso hasta que formamos un triángulo de números.
Por ejemplo, si la entrada es 1 0 1 1 1, el triángulo sería el siguiente:
1 0 1 1 1
1 1 0 0
0 1 0
1 1
0
La salida de este procedimiento es la cadena de unos y ceros que se puede leer en el lado de este triángulo desde el extremo inferior hasta el extremo superior derecho, en ese orden. En nuestro ejemplo es 0 1 0 0 1.
Si decidimos empezar con una entrada de longitud n, hay 2n posibles cadenas de entrada.
¿Cuántas de esas cadenas tienen la propiedad de que son las mismas que su cadena de salida correspondiente?
No son necesarios cálculos complejos. Use sólo ideas hermosas.
Solución:
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Solución a una fila en Florencia
Problema 3 de la Olimpiada Matemática Femenina Europea (EGMO 2018) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Las n concursantes de cierta EGMO se llaman C1, C2, … ,Cn. Después de la competencia, se ponen en fila fuera del restaurante de acuerdo a las siguientes reglas:
· El Jurado escoge el orden inicial de las concursantes en la fila.
· Cada minuto, el Jurado escoge un entero i, con 1 ≤ i ≤ n.
Si la concursante Ci tiene al menos otras i concursantes delante de ella, le paga un florín al Jurado y se mueve exactamente i posiciones delante de ella.
Si la concursante Ci tiene menos de i concursantes delante de ella, el restaurante se abre y el proceso termina.
(a) Demuestre que el proceso no puede continuar indefinidamente, sin importar las elecciones del Jurado.
(b) Determine para cada n el máximo número de florines que puede recolectar el Jurado, escogiendo el orden inicial y la secuencia de movimientos astutamente.
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Solución a dos naranjas en un bol
Problema 1 del nivel B fase autonómica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2018 Se dirige a una edad de: 13-14 años
Tenemos dos naranjas de 5 centímetros de radio.
¿Cuál es la altura mínima que debe tener un bol semiesférico para que podamos poner dentro las dos naranjas sin que sobresalgan?
Si tenemos un bol del tamaño indicado en el apartado anterior, ¿a qué altura respecto al fondo del bol quedan los puntos en los que las naranjas tocan el bol?
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Solución a sumas consecutivas
Problema 1 del nivel A fase comarcal de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2018 Se dirige a una edad de: 11-12 años
Determina cuantos números menores que 2018 cumplen las dos condiciones siguientes a la vez:
a. Ser suma de dos naturales consecutivos.
b. Ser suma de siete naturales consecutivos.
Solución:
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Solución a la edad de los hijos
Problema 5 del nivel A fase comarcal de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2018 Se dirige a una edad de: 11-12 años
Una familia tiene cinco hijos, cuyas edades son números pares distintos.
La suma de las edades de las tres chicas es de 28 años.
La suma de los edades de los chicos es de 14 años.
La suma de las edades de los dos mayores es 24 años.
La suma de las edades de los dos menores es 10 años.
Indica la edad de cada uno de los hijos, sabiendo que el menor es una hija. Explica tu razonamiento.
Solución:
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Solución a áreas con un pentágono
Problema 3 del nivel A fase comarcal de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2018 Se dirige a una edad de: 11-12 años
Se presentan cinco círculos iguales, de un centímetro de radio, cuyos centros se unen para construir un pentágono regular como se indica en la figura.
La zona sombreada se corresponde con las áreas de los círculos que quedan en el exterior del pentágono.
¿Cuánto mide la zona sombreada?
¿Y si el pentágono no fuese regular?
Solución:
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Solución a hermanos a pares
Problema 5 del nivel B fase comarcal de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2018 Se dirige a una edad de: 13-15 años
Un grupo de jóvenes está formado por 5 pares de hermanos. Cada uno de los 10 jóvenes tiene una edad diferente comprendida entre 4 y 13 años (incluidas ambas edades).
Las sumas de las edades de las parejas de hermanos son 10, 13, 17, 22 y 23. Si Juan tiene 9 años, ¿qué edad tiene su hermano?
Solución:
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Solución a cruzando el río
Problema 1 de la prueba de selección de Estalmat 2018 Se dirige a una edad de: 11-12 años
En una de las orillas de un río hay 3 adultos, 2 niños y una barca de remos muy pequeña.
Queremos que todas las personas crucen el río utilizando la barca.
En la barca sólo caben o bien un solo adulto o bien 2 niños.
Todos saben remar y está permitido que un niño vaya solo en la barca.
Entendemos por viaje a remar de un lado al otro del río:
a) ¿Cuál es el mínimo número de viajes que habrá que hacer para que todas las personas crucen el río? Explica cómo has llegado al resultado.
b) ¿Y si hubiera 8 adultos y 2 niños? ¿Y si hubiera 100 adultos y 2 niños? Explica cómo has llegado a tus respuestas.
c) Explica cómo podemos encontrar el mínimo número de viajes necesarios para cualquier número de adultos y 2 niños.
d) Si ahora, en una de las orillas hay 4 adultos y 3 niños ¿cuál es el número mínimo de viajes que habrá que hacer para que todas las personas crucen el río? ¿Cómo los harías?
e) ¿Y si hubiera 8 adultos y 3 niños? ¿Y si hubiera 100 adultos y 3 niños? Explica cómo podemos encontrar el mínimo número de viajes necesarios para cualquier número de adultos y 3 niños.
f) Explica cómo podemos encontrar el mínimo número de viajes necesarios para cualquier número de adultos y cualquier número de niños.
Solución:
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Solución a distancias en un paralelogramo
Problema 4 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo (2018) Se dirige a una edad de: 14 años
En un paralelogramo ABCD, sea M el punto del lado BC tal que MC = 2BM y sea N el punto del lado CD tal que NC = 2DN.
Si la distancia del punto B a la recta AM es 3, calcular la distancia del punto N a la recta AM.
Solución:
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